Relation d'équivalence et ensemble de quotients. Relations d'équivalence. Ensembles de facteurs Relations d'équivalence. Ensembles de facteurs
(c'est-à-dire qui a les propriétés suivantes : chaque élément de l'ensemble est équivalent à lui-même ; si Xéquivalent oui, Que ouiéquivalent X; Si Xéquivalent oui, UN ouiéquivalent z, Que Xéquivalent z ).
Alors l’ensemble de toutes les classes d’équivalence est appelé ensemble de facteurs et est désigné . Le partitionnement d'un ensemble en classes d'éléments équivalents est appelé son factorisation.
Afficher à partir de X dans l’ensemble des classes d’équivalence est appelé cartographie factorielle.
Exemples
Il est raisonnable d'utiliser la factorisation ensembliste pour obtenir des espaces normés à partir d'espaces semi-normés, des espaces avec un produit scalaire à partir d'espaces avec un produit presque scalaire, etc. Pour ce faire, nous introduisons respectivement la norme d'une classe, égale à la norme d'un élément arbitraire, et le produit interne des classes en tant que produit interne d'éléments arbitraires des classes. À son tour, la relation d'équivalence est introduite comme suit (par exemple, pour former un espace quotient normalisé) : un sous-ensemble de l'espace semi-normé d'origine est introduit, constitué d'éléments de semi-norme zéro (d'ailleurs, il est linéaire, c'est-à-dire c'est un sous-espace) et on considère que deux éléments sont équivalents si leur différence appartient à ce même sous-espace.
Si, pour factoriser un espace linéaire, un certain sous-espace est introduit et on suppose que si la différence de deux éléments de l'espace d'origine appartient à ce sous-espace, alors ces éléments sont équivalents, alors l'ensemble de facteurs est un espace linéaire et est appelé un espace factoriel.
Exemples
voir également
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Théorie des ensembles. Concepts de base
La théorie des ensembles est la définition fondamentale des mathématiques modernes. Il a été créé par Georg Cantor dans les années 1860. Il a écrit : « Le multiple est multiple, conçu comme un tout unique. » Le concept d’ensemble est l’un des concepts fondamentaux et non définis des mathématiques. Il ne peut être réduit à d’autres concepts plus simples. On ne peut donc pas le définir, mais seulement l’expliquer. Ainsi, un ensemble est une unification en un tout d'objets clairement distinguables par notre intuition ou notre pensée ; une collection de certains objets définis par une caractéristique commune.
Par exemple,
1. De nombreux habitants de Voronej
2. Ensemble de points plans
3. Ensemble de nombres naturels ℕetc.
Les ensembles sont généralement désignés par des lettres latines majuscules ( A, B, C etc.). Les objets qui composent un ensemble donné sont appelés ses éléments. Les éléments d'un ensemble sont désignés par de petites lettres latines ( une, b, c etc.). Si X– régler, puis enregistrer x∈X signifie que X est un élément de l'ensemble X ou quoi X appartient à l'ensemble X, et l'entrée x∉X cet élément X n'appartient pas à l'ensemble X. Par exemple, soit ℕ l’ensemble des nombres naturels. Alors 5 ℕ , UN 0,5∉ℕ .
Si l'ensemble Oui se compose d'éléments de l'ensemble X, alors ils disent que Oui est un sous-ensemble de l'ensemble X et désigne Y⊂Х(ou Y⊆Х). Par exemple, un ensemble d'entiers ℤ est un sous-ensemble de nombres rationnels ℚ .
Si pour deux sets X Et Oui deux inclusions se produisent simultanément XY Et Oui X, c'est à dire. X est un sous-ensemble de l'ensemble Oui Et Oui est un sous-ensemble de l'ensemble X, puis les ensembles X Et Oui sont constitués des mêmes éléments. De tels ensembles X Et Oui sont appelés égaux et écrivent : X=Y.
Le terme ensemble vide est souvent utilisé - Ø - un ensemble qui ne contient pas un seul élément. C'est un sous-ensemble de n'importe quel ensemble.
Les méthodes suivantes peuvent être utilisées pour décrire des ensembles.
Méthodes de spécification des ensembles
1. Énumération des objets. Utilisé uniquement pour les ensembles finis.
Par exemple, X=(x1, x2, x3…xn). Entrée Y ={1, 4, 7, 5} signifie que l'ensemble se compose de quatre nombres 1, 4, 7, 5 .
2. Indication de la propriété caractéristique des éléments de l'ensemble.
Pour ce faire, une certaine propriété est définie R., qui permet de déterminer si un élément appartient à un ensemble. Cette méthode est plus universelle.
X=(x : P(x))
(un tas de X se compose de tels éléments X, pour lequel la propriété détient P(x)).
Un ensemble vide peut être spécifié en spécifiant ses propriétés : Ø=(x : x≠x)
Vous pouvez construire de nouveaux ensembles en utilisant ceux déjà définis en utilisant des opérations sur les ensembles.
Définir les opérations
1. Une union (somme) est un ensemble composé de tous ces éléments dont chacun appartient à au moins un des ensembles UN ou DANS.
A∪B=(x : x A ou x B).
2. Une intersection (produit) est un ensemble composé de tous les éléments dont chacun appartient simultanément à l'ensemble UN, et beaucoup DANS.
A∩B=(x : xA et xB).
3. Définir la différence UN Et DANS est un ensemble composé de tous les éléments qui appartiennent à l'ensemble UN et n'appartiennent pas à la multitude DANS.
A\B=(x : x A et x B)
4. Si UN– un sous-ensemble d’un ensemble DANS. C'est beaucoup B\A appelé le complément d'un ensemble UN trop DANS et désigne UN'.
5. La différence symétrique de deux ensembles est l'ensemble UNE∆B=(UNE\B) (B\A)
N- l'ensemble de tous les nombres naturels ;
Z- l'ensemble de tous les entiers ;
Q- l'ensemble de tous les nombres rationnels ;
R.- l'ensemble de tous les nombres réels ;
C- l'ensemble de tous les nombres complexes ;
Z 0- l'ensemble de tous les entiers non négatifs.
Propriétés des opérations sur les ensembles :
1. Un B=B A (commutativité de l'union)
2. Un B=B A (commutativité de l'intersection)
3. UNE(B C)=(UNE DANS) C (associativité syndicale)
4. Un (DANS C)=(UNE DANS) C (associativité d'intersection)
5. Un (DANS C)=(UNE DANS) (UN C) (1ère loi de distributivité)
6. Un (DANS C)=(UNE DANS) (UN C) (2ème loi de distributivité)
7. Un Ø=A
8. Un U=U
9. Un Ø= Ø
10. Un U=A
11. (Un B)'=A' B' (loi de Morgan)
12. (Un B)'=A' B' (loi de Morgan)
13. Un (UN B)=A (loi d'absorption)
14. Un (UN B)=A (loi d'absorption)
Démontrons la propriété n°11. (UN B)'=A' DANS'
Par définition d'ensembles égaux, nous devons prouver deux inclusions 1) (UN B)’ ⊂A’ DANS';
2) UN' B’⊂(A DANS)'.
Pour prouver la première inclusion, considérons un élément arbitraire x∈(UNE B)'=X\(A∪B). Cela signifie que x∈X, x∉ A∪B. Il s'ensuit que x∉UNE Et x∉B, C'est pourquoi x∈X\A Et x∈X\B, ce qui signifie x∈A’∩B’. Ainsi, (UN B)'⊂A' DANS'
De retour si x∈A’ DANS', Que X appartient simultanément à des ensembles UN B', ce qui signifie x∉UNE Et x∉B. Il s'ensuit que x∉ UNE DANS, C'est pourquoi x∈(UNE DANS)'. Ainsi, UN' B’⊂(A DANS)'.
Donc, (UN B)'=A' DANS'
Un ensemble composé de deux éléments, dans lequel l'ordre des éléments est défini, est appelé une paire ordonnée. Pour l'écrire, utilisez des parenthèses. (x1,x2)– un ensemble à deux éléments dans lequel x 1 est considéré comme le premier élément et x 2 comme le deuxième. Des couples (x1,x2) Et (x2,x1), Où x1 ≠x2, sont considérés comme différents.
Un ensemble constitué de n éléments, dans lequel l'ordre des éléments est défini, est appelé un ensemble ordonné de n éléments.
Un produit cartésien est un ensemble arbitraire X 1, X 2,…,Xn ensembles ordonnés de n éléments, où x1 X1, X2 X 2 ,…, x n Xn
X1 Xn
Si les ensembles X 1, X 2,…,Xn correspondre (X 1 = X 2 =…=X n), alors leur produit est noté Xn.
Par exemple, ℝ 2 – un ensemble de paires ordonnées de nombres réels.
Relations d'équivalence. Ensembles de facteurs
Sur la base d’un ensemble donné, de nouveaux ensembles peuvent être construits en considérant l’ensemble de certains sous-ensembles. Dans ce cas, on ne parle généralement pas d’un ensemble de sous-ensembles, mais d’une famille ou d’une classe de sous-ensembles.
Dans un certain nombre de questions, la classe de ces sous-ensembles d'un ensemble donné est considérée UN, qui ne se coupent pas et dont l'union coïncide avec UN. Si cet ensemble UN peut être représenté comme une union de ses sous-ensembles disjoints deux à deux, alors il est d'usage de dire que UN divisé en classes. La division en classes s'effectue sur la base de certaines caractéristiques.
Laisser X n'est pas un ensemble vide, alors tout sous-ensemble R. du travail X X est appelée une relation binaire sur l'ensemble X. Si un couple (x,y) inclus dans R, on dit que l'élément x est dans la relation R. Avec à.
Par exemple, les relations x=y, x≥y sont des relations binaires sur le plateau ℝ.
Relation binaire R. sur un plateau X est appelée relation d'équivalence si :
1. (x,x) R ; X X (propriété de réflexivité)
2. (x,y) R => (y,x) R (propriété de symétrie)
3. (x,y) R, (y, z) R, alors (x,z) R (propriété de transitivité)
Si un couple (x,y) entrés dans des relations d'équivalence, alors x et y sont appelés équivalents (x~y).
1.Laissez ℤ – un ensemble d'entiers, m≥1- un nombre entier. Définissons la relation d'équivalence R. sur ℤ de sorte que n~k, Si n-k divisé par m. Vérifions si les propriétés sont satisfaites sur cette relation.
1. Réflexivité.
Pour tout le monde n∈ℤ ℤ tel que (p,p)∈R
р-р=0. Parce que 0∈ ℤ , Que (p,p)∈ℤ.
2. Symétrie.
Depuis (n,k) ∈R il s'ensuit qu'il existe une telle chose р∈ℤ, Quoi n-k=mp;
k-n =m(-p), -p∈ ℤ, ainsi (k,n)∈R.
3. Transitivité.
De quoi (n,k) ∈R, (k,q) ∈R il s'ensuit qu'il existe de tels page 1 Et р 2 ∈ ℤ, Quoi n-k=mp 1 Et kq=mp 2. En ajoutant ces expressions, on obtient ça n-q=m(p 1 + p 2), p 1 + p 2 =p, p∈ ℤ. C'est pourquoi (n,q) ∈ ℤ.
2. Considérez l'ensemble X tous les segments dirigés de l'espace ou du plan . =(UN B). Introduisons la relation d'équivalence R. sur X.
Soit G=(p 0 =e, p 1, …, p r) un certain groupe de permutations définies sur l'ensemble X = (1, 2, …, n) avec l'unité e=p 0 permutation identique. Définissons la relation x~y en posant x~y équivalent au fait qu'il existe p appartenant à G(p(x)=y). La relation introduite est une relation d'équivalence, c'est-à-dire qu'elle satisfait trois axiomes :
1) x~x ;
2) x~y→y~x ;
3) x~y&y~z→x~z ;
Soit A un ensemble arbitraire.
Définition: Une relation binaire δ=A*A est une relation d'équivalence (notée a ~ b) si elle satisfait les axiomes suivants :
∀ une, b, c ∈ UNE
1) a ~ a – réflexivité ;
2) a ~ b ⇒ b ~ a – commutativité ;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c - transitivité
noté a ~ b, σ(a,b), (a,b) ∈ σ, a σ b
Définition: Une partition d'un ensemble A est une famille de sous-ensembles disjoints deux à deux de A, qui dans l'union (au total) donnent tout A.
А= ∪А je, А je ∩А j = ∅, ∀i ≠ j.
Les sous-ensembles A i sont appelés cosets de la partition.
Théorème: toute relation d'équivalence définie sur A correspond à une partition de l'ensemble A. Chaque partition de l'ensemble A correspond à une relation d'équivalence sur l'ensemble A.
En bref : il existe une correspondance biunivoque entre les classes de toutes les relations d'équivalence définies sur l'ensemble A et la classe de toutes les partitions de l'ensemble A.
Preuve: soit σ une relation d'équivalence sur l'ensemble A. Soit a ∈ A.
Construisons un ensemble : K a =(x ∈ A,: x~a) – tous les éléments équivalents à a. L'ensemble (notation) est appelé la classe d'équivalence par rapport à l'équivalence σ. Notez que si b appartient à K a , alors b~a. Montrons que a~b⇔K a =K b . En effet, soit a~b. Prenons un élément arbitraire c appartenant à K a . Alors c~a, a~b, c~b, c appartient à K b et donc K b appartient à K a . Le fait que K a appartient à K b se montre de la même manière. Donc K b = K a.
Soit maintenant K b =K a . Alors a appartient à K a = K b , a appartient à K b , a~b. C'est ce qu'il fallait montrer.
Si 2 classes K a et K b ont un élément commun c, alors K a = K b. En fait, si c appartient à K a et K b , alors b~c, c~a, b~a => K a = K b .
Par conséquent, les différentes classes d’équivalence soit ne se croisent pas, soit se croisent puis coïncident. Chaque élément c de A appartient à une seule classe d’équivalence K c. Par conséquent, un système de classes d’équivalence disjointes à l’intersection donne l’ensemble A entier. Et donc ce système est une partition de l’ensemble A en classes d’équivalence.
Inverse : Soit A = somme ou A i est une partition de A. Introduisons la relation a~b sur A, car a~b ⇔ a,b appartiennent à la même classe de partition. Cette relation satisfait les axiomes suivants :
1) a ~ a (sont dans la même classe) ;
2) une ~ b → b ~ une ;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c, c'est-à-dire la relation introduite ~ est une relation d'équivalence.
Commentaire:
1) une partition d'un ensemble A en sous-ensembles à un seul élément et une partition de A composée uniquement de l'ensemble A sont appelées partitions triviales (impropres).
2) Le partitionnement de A en sous-ensembles à un seul élément correspond à une relation d'équivalence qui est l'égalité.
3) Les partitions A, constituées d'une classe A, correspondent à une relation d'équivalence contenant A x A.
4) a σ b → [a] σ = [b] σ - toute relation d'équivalence définie sur un certain ensemble divise cet ensemble en classes disjointes par paires appelées classes d'équivalence.
Définition: L'ensemble des classes d'équivalence d'un ensemble A est appelé l'ensemble quotient A/σ de l'ensemble A par équivalence σ.
Définition: L'application p:A→A/σ, pour laquelle p(A)=[a] σ, est appelée l'application canonique (naturelle).
Toute relation d'équivalence définie sur un certain ensemble divise cet ensemble en classes disjointes par paires appelées classes d'équivalence.
Si l'attitude R. a les propriétés suivantes : réflexif symétrique transitif, c'est-à-dire est une relation d'équivalence (~ ou ≡ ou E) sur l'ensemble M , alors l'ensemble des classes d'équivalence est appelé l'ensemble factoriel de l'ensemble M concernant l'équivalence R. et est désigné M
Il existe un sous-ensemble d'éléments de l'ensemble M équivalent X , appelé classe d'équivalence.
De la définition d’un ensemble de facteurs, il s’ensuit qu’il s’agit d’un sous-ensemble d’un booléen : .
La fonction s'appelle identification et est défini comme suit :
Théorème. Algèbre factorielle F n /~ est isomorphe à l'algèbre des fonctions booléennes B n
Preuve.
L'isomorphisme requis ξ : F n / ~ → B n est déterminé par la règle suivante : classe d'équivalence ~(φ) la fonction correspond f φ , avoir une table de vérité pour une formule arbitraire de l'ensemble ~(φ) . Puisque différentes classes d’équivalence correspondent à différentes tables de vérité, la cartographie ξ injectif, et puisque pour toute fonction booléenne F depuis En p il existe une formule représentant la fonction F, puis la cartographie ξ surjectif. Stocker les opérations, 0, 1 lorsqu'ils sont affichés ξ est vérifié directement. CTD.
Par le théorème sur la complétude fonctionnelle de toute fonction qui n'est pas une constante 0 , correspond à certains SDNF ψ , appartenant à la classe ~(φ) = ξ -1 (f) formules représentant une fonction F . Le problème d’être en classe se pose ~(φ) forme normale disjonctive, qui a la structure la plus simple.
Fin du travail -
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Considérons l'ensemble Во = (0,1) et définissons des opérations sur celui-ci, selon les tables des sources
Tableaux de fonctions booléennes
Une fonction booléenne de n variables peut être spécifiée par un tableau composé de deux colonnes et 2n lignes. La première colonne répertorie tous les ensembles de B
F5 – répéter dans y
f6 – somme modulo 2 f7
Ordre des opérations
S'il n'y a pas de parenthèses dans une expression complexe, alors les opérations doivent être effectuées dans l'ordre suivant : conjonction, disjonction, implication, équivalence, négation. Conventions concernant l'arrangement du premier théorème de Shannon
Pour résoudre le problème de trouver les équivalents SDNF et SCNF de la formule originale φ, nous considérons d'abord les développements de la fonction booléenne f(x1, x2
Deuxième théorème de Shannon
En vertu du principe de dualité, le théorème 6.4.3 (deuxième théorème de Shannon) est valable pour les algèbres booléennes. Toute fonction booléenne f(x1, x2,...
Complétude fonctionnelle
Théorème (sur la complétude fonctionnelle). Pour toute fonction booléenne f il existe une formule φ représentant la fonction f
Algorithme pour trouver sdnf
Pour trouver le SDNF, il faut d'abord réduire cette formule au DNF, puis transformer ses conjonctions en constituants de l'unité en utilisant les actions suivantes : a) si la conjonction comprend des
La méthode de Quine
Considérons la méthode de Quine pour trouver le MDNF représentant une fonction booléenne donnée. Définissons les trois opérations suivantes : - opération complète de collage -
Représentation canonique des fonctions logiques
Les formes canoniques de fonctions logiques (formules) sont des expressions qui ont la forme standard d'une formule booléenne telle qu'elle représente de manière unique une fonction logique. En algèbre
Systèmes de fonctions booléennes
Soit les fonctions booléennes f(g1, g2, …, gm) et g1(x1, x2, …, xn), g2(x1
Base de Jegalkin
Essayons, regardons le système. Il est complet, puisque toute fonction issue de la base standard est exprimée en termes
Théorème de Post
Le théorème de Post établit les conditions nécessaires et suffisantes pour l'exhaustivité d'un système de fonctions booléennes. (Post E.L. Les systèmes interactifs à deux valeurs de la logique mathématique. – Annals of Math. Stu
Preuve
Nécessité. Du contraire. Qu'il en soit ainsi
Algèbre de Jegalkin Logique propositionnelle Définition d'un prédicat Application des prédicats en algèbre Algèbre des prédicats booléens F↔G=(F→G)(G→F), F→G=pas FG Calcul des prédicats Suivi et équivalence Notations acceptées Méta-désignations Soit R une relation binaire sur l'ensemble X. La relation R est appelée réfléchissant
, si (x, x) О R pour tout x О X ; symétrique
– si de (x, y) О R il suit (y, x) О R ; le nombre transitif 23 correspond à l'option 24 si (x, y) О R et (y, z) О R impliquent (x, z) О R. Exemple 1 On dira que x О X a en commun
avec l'élément y О X, si l'ensemble Relation d'équivalence sur X est une relation réflexive, transitive et symétrique. Il est facile de voir que R Í X ´ X sera une relation d'équivalence si et seulement si les inclusions sont vraies : Id X Í R (réflexivité), R -1 Í R (symétrie), R ° R Í R (transitivité). En réalité, ces trois conditions sont équivalentes à ce qui suit : Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R. En divisant d'un ensemble X est l'ensemble A de sous-ensembles disjoints deux à deux a Í X tel que UA = X. A chaque partition A on peut associer une relation d'équivalence ~ sur X, mettant x ~ y si x et y sont des éléments d'un a Î A . Chaque relation d'équivalence ~ sur X correspond à une partition A dont les éléments sont des sous-ensembles dont chacun est constitué de ceux de la relation ~. Ces sous-ensembles sont appelés classes d'équivalence
. Cette partition A est appelée l'ensemble des facteurs de l'ensemble X par rapport à ~ et est notée : X/~. Définissons la relation ~ sur l'ensemble w des nombres naturels, en mettant x ~ y si les restes de la division de x et y par 3 sont égaux. Alors w/~ se compose de trois classes d’équivalence correspondant aux restes 0, 1 et 2. Relation d'ordre Une relation binaire R sur un ensemble X est appelée antisymétrique
, si de x R y et y R x il s'ensuit : x = y. Une relation binaire R sur un ensemble X est appelée relation d'ordre
, s'il est réflexif, antisymétrique et transitif. Il est facile de voir que cela équivaut aux conditions suivantes : 1) Id X Í R (réflexivité), 2) R Ç R -1 (antisymétrie), 3) R ° R Í R (transitivité). Une paire ordonnée (X, R) constituée d'un ensemble X et d'une relation d'ordre R sur X est appelée ensemble partiellement commandé
. Exemple 1 Soit X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)). Puisque R satisfait aux conditions 1 à 3, alors (X, R) est un ensemble partiellement ordonné. Pour les éléments x = 2, y = 3, ni x R y ni y R x ne sont vrais. De tels éléments sont appelés incomparable
. Habituellement, la relation d'ordre est notée £. Dans l'exemple donné, 0 £ 1 et 2 £ 2, mais il n'est pas vrai que 2 £ 3. Exemple 2 Laisser< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество. Les éléments x, y О X d'un ensemble partiellement ordonné (X, £) sont appelés comparable
, si x £ y ou y £ x. Un ensemble partiellement ordonné (X, £) est appelé ordonné linéairement
ou chaîne
, si deux de ses éléments sont comparables. L’ensemble de l’exemple 2 sera ordonné linéairement, mais pas l’ensemble de l’exemple 1. Un sous-ensemble A Í X d'un ensemble partiellement ordonné (X, £) est appelé délimité au-dessus
, s'il existe un élément x О X tel que un £ x pour tout a О A. L'élément x О X est appelé le plus large
dans X si y £ x pour tout y О X. Un élément x О X est dit maximal s'il n'y a pas d'éléments y О X différent de x pour lequel x £ y. Dans l'exemple 1, les éléments 2 et 3 seront le maximum, mais pas le plus grand. De même défini limite inférieure
sous-ensembles, éléments les plus petits et minimaux. Dans l'exemple 1, l'élément 0 sera à la fois le plus petit et le minimum. Dans l'exemple 2, 0 a également ces propriétés, mais (w, £) n'a ni l'élément le plus grand ni l'élément maximum.
La somme modulo 2, la conjonction et les constantes 0 et 1 forment un système fonctionnellement complet, c'est-à-dire former une algèbre - l'algèbre de Zhegalkin. UNE=
La logique mathématique étudie les concepts de base de la syntaxe (forme) et de la sémantique (contenu) du langage naturel. Considérons trois grands domaines de recherche en logique mathématique - la logique
Soit X1, X2, ..., Xn des variables arbitraires. Nous appellerons ces variables variables sujet. Laissez la variable vous définir
Considérons des prédicats dans lesquels une seule variable est libre, que nous désignons par x, et discutons de l'utilisation des prédicats en algèbre. Un exemple typique
Puisque les opérations logiques peuvent être appliquées aux prédicats, les lois fondamentales de l’algèbre booléenne sont valables pour eux. Théorème. (Propriétés des opérations logiques pour les prédicats). Mn
2. Utiliser la loi not not F=F, les lois de Morgan : not (F
Le calcul des prédicats est également appelé théorie du premier ordre. Dans le calcul des prédicats, ainsi que dans le calcul propositionnel, la première place la plus importante est le problème de la solvabilité.
La forme propositionnelle Q2 découle de la forme propositionnelle Q1 si l'implication Q1 → Q2 devient vraie
Symboles de « ne commandez plus ». Lorsque l’on compare le taux de croissance de deux fonctions f(n) et g(n) (avec des valeurs non négatives), les éléments suivants sont très pratiques :
Symboles Contenu Exemple OU
x Ç y n'est pas vide. La relation à avoir en commun sera réflexive et symétrique, mais non transitive.
