Relation d'ordre strict et non strict. Leurs propriétés, exemples. Relations d'ordre Relations d'ordre strictes

Le dernier exemple introduit la notion d'ordre alphabétique.

Alphabet est un tuple de caractères distincts par paires appelés lettres de l'alphabet. Un exemple est l'alphabet de n'importe quelle langue européenne, ainsi que l'alphabet de 10 chiffres arabes. Sur un ordinateur, le clavier et certains outils de support déterminent l'alphabet des caractères valides.

Mot dans l'alphabetUN - tuple de caractères alphabétiques UN. Le mot est écrit en symboles alphabétiques consécutifs, de gauche à droite, sans espaces. Un nombre naturel est un mot de l'alphabet numérique. Une formule n'est pas toujours un mot en raison de la disposition non linéaire des symboles ; la présence de symboles en exposant (exposants) et en indice (indices de variables, bases de logarithmes), barre fractionnaire, signes radicaux, etc.; cependant, selon certaines conventions, il peut être écrit dans une chaîne, qui est utilisée, par exemple, en programmation informatique (par exemple, le signe d'exponentiation s'écrit sous la forme de 2 signes de multiplication consécutifs : 5**3 signifie la troisième puissance du numéro 5.

Ordre lexicographique (alphabétique) - pour différents mots de l'alphabet avec ordre

les symboles définissent l'ordre : , si

présentation possible , à laquelle soit

(le sous-mot peut être vide), ou - sous-mot vide

Dans cette définition - un préfixe (sous-mot initial) qui est le même pour les deux mots - ou les premiers à gauche sont différents

caractères, soit - le dernier caractère du mot - queue

sous-mots.

Ainsi, l'ordre alphabétique des mots est déterminé par le premier symbole à gauche qui les distingue (par exemple, le mot KONUS précède le mot COSINE car ils diffèrent d'abord par la troisième lettre, et N précède S dans l'alphabet russe). Le caractère espace est également considéré comme précédant tout caractère de l'alphabet - dans le cas où l'un des mots est le préfixe d'un autre (par exemple, CON et CONE)

Exercice. Vérifiez que l’ordre alphabétique des nombres naturels ayant le même nombre de décimales coïncide avec leur ordre par grandeur.

Laisser UN - ensemble partiellement commandé. L'élément s'appelle maximum V UN, s'il n'y a aucun élément pour lequel UN< b. Élément UN appelé le plus large V UN, si pour tout le monde différent de UNélément terminé b<а-

Déterminé symétriquement minimal et le plus petitéléments. Les concepts d'éléments les plus grands et les plus maximaux (respectivement les plus petits et les plus minimaux) sont différents - voir. exemple sur la figure 14. L'ensemble de la Fig. 14,a a le plus grand élément R, c'est aussi le maximum, il y a deux éléments minimum : s et t, il n'y a pas de plus petit. Sur la figure 14b, au contraire, il y a un ensemble ayant deux éléments maximaux / et j, il n'y a pas de plus grand, ni de minimum, c'est-à-dire le plus petit - un : T.

En général, si un ensemble possède le plus grand (respectivement le plus petit) élément, alors il n'y en a qu'un (il peut n'y en avoir aucun).

Il peut y avoir plusieurs éléments maximum et minimum (il peut ne pas y en avoir du tout - dans un ensemble infini ; dans le cas final - il doit y en avoir).

Regardons deux autres exemples. - relation sur un ensemble N:

"Oui divise X", ou "X est un diviseur d'un nombre Oui"(Par exemple,

) est réflexif et transitif. Considérons-le sur un ensemble fini de diviseurs du nombre 30.

La relation est une relation d'ordre partiel (non stricte)

et est représenté par la matrice suivante d'ordre 8, contenant 31 caractères

Le circuit correspondant à 8 sommets doit contenir 31 liens. . Cependant, il sera plus pratique à visualiser si l'on exclut 8

connecteurs-boucles illustrant la réflexivité de la relation (éléments diagonaux de la matrice) et connecteurs transitifs, c'est-à-dire ligaments

S'il existe un nombre intermédiaire Z tel que

(par exemple, le connecteur depuis). Puis dans le schéma

Il restera 12 ligaments (Fig. 15) ; les liens manquants sont impliqués « par transitivité ». Le chiffre 1 est le plus petit et le chiffre 30

les plus grands éléments de . Si l'on exclut du nombre 30 et

considérons la même commande partielle sur le plateau, alors

il n'y a pas d'élément maximum, mais il y a 3 éléments maximum : 6, 10, 15

Construisons maintenant le même circuit pour une relation sur un booléen

(l'ensemble de tous les sous-ensembles) d'un ensemble à trois éléments

Contient 8 éléments :

Vérifiez que si vous faites correspondre les éléments une, b, c, respectivement, les nombres 2, 3, 5 et les opérations de combinaison d'ensembles sont la multiplication des nombres correspondants (c'est-à-dire, par exemple, le sous-ensemble correspond

produit 2 5 = 10), alors la matrice de relation sera exactement comme ceci

pareil que pour la relation ; diagrammes de ces deux relations avec celles décrites

les abréviations de boucles et de connecteurs transitifs coïncident jusqu'à la notation (voir Fig. 16). Le plus petit élément est

Et le plus grand -

Relations binaires R. sur un plateau UN Et S sur un plateau DANS sont appelés isomorphe, si entre A et B il est possible d'établir une correspondance biunivoque Г, dans laquelle, si (c'est-à-dire

les éléments sont en relation R), alors (images

ces éléments sont en relation S).

Ainsi, les ensembles partiellement ordonnés sont isomorphes.

L’exemple considéré permet une généralisation.

Une relation booléenne est un ordre partiel. Si

Ceux. un tas de E contient P.éléments, puis chacun

correspond au sous-ensemble P.-vecteur dimensionnel avec

composants , où est la fonction caractéristique

régler A/ . L'ensemble de tous ces vecteurs peut être considéré comme un ensemble de points P.-espace arithmétique dimensionnel avec les coordonnées 0 ou 1, ou, en d'autres termes, comme sommets P.-dimensionnel

cube unitaire, noté , c'est-à-dire cube avec des arêtes de longueur unitaire. Pour n = 1, 2, 3 points indiqués représentent respectivement les extrémités d'un segment, les sommets d'un carré et d'un cube - d'où le nom commun. Pour /7=4, une représentation graphique de cette relation se trouve sur la figure 17. Près de chaque sommet d'un cube à 4 dimensions, le correspondant

sous-ensemble d'un ensemble de 4 éléments et en quatre dimensions

un vecteur représentant la fonction caractéristique de ce sous-ensemble. Les sommets correspondant aux sous-ensembles qui diffèrent par la présence d'exactement un élément sont connectés les uns aux autres.

Sur la figure 17, un cube à quatre dimensions est représenté de telle manière que sur une

niveau, les éléments incomparables sont situés par paires, contenant le même nombre d'unités dans l'enregistrement (de 0 à 4), ou, en d'autres termes, le même nombre d'éléments dans les sous-ensembles représentés.

Sur la figure 18a, b - autres représentations visuelles d'un cube à 4 dimensions ;

sur la figure 18a, l'axe de la première variable OH dirigé vers le haut (écart intentionnel par rapport à la verticale pour que les différentes arêtes du cube ne se confondent pas) :

dans ce cas le sous-cube tridimensionnel correspondant à X= 0 est situé en dessous, et pour X= 1 - plus élevé. En figue. 186 même axe OH dirigé de l’intérieur du cube vers l’extérieur ; le sous-cube intérieur correspond à X= Oh, et l'externe est X = 1.

DANS
Le fichier de matériaux montre une image d'un cube unitaire à 5 dimensions (p. 134).

Le mot « ordre » est souvent utilisé dans une grande variété de domaines. L'officier donne l'ordre : « Calculer par ordre numérique », les opérations arithmétiques sont effectuées dans un certain ordre, les athlètes sont classés en fonction de leur taille, tous les principaux joueurs d'échecs sont disposés dans un certain ordre selon les coefficients dits Elo (professeur américain qui a développé le système de coefficients, permettant de prendre en compte tous les succès et échecs des joueurs), après le championnat, toutes les équipes de football sont situées dans un certain ordre, etc. Il existe un ordre des opérations lors de la fabrication d'une pièce, l'ordre de mots dans une phrase (essayez de comprendre ce que signifie la phrase « sur le vieux », je n’ai pas planté l’âne !)

En disposant les éléments d'un certain ensemble les uns après les autres, nous les ordonnons ou établissons ainsi une relation entre eux. en ordre. L’exemple le plus simple est l’ordre naturel des nombres naturels. Son caractère naturel réside dans le fait que pour deux nombres naturels quelconques, nous savons lequel suit l'autre ou lequel est supérieur à l'autre, nous pouvons donc organiser les nombres naturels dans une séquence telle que le plus grand nombre soit situé, par exemple, à à droite du plus petit : 1, 2, 3, ... . Bien entendu, la séquence d’éléments peut être écrite dans n’importe quelle direction, pas seulement de gauche à droite. Le concept même de nombres naturels contient déjà l'idée d'ordre. En établissant une disposition relative des éléments d'un ensemble quelconque, nous définissons ainsi sur lui une relation d'ordre binaire, qui dans chaque cas spécifique peut avoir son propre nom, par exemple « être moins », « être plus âgé », « être être contenu dans ", "suivre", etc. Les désignations symboliques de l'ordre peuvent également varier, par exemple Í, etc.

La principale caractéristique d’une relation d’ordre est qu’elle possède la propriété de transitivité. Donc, si nous avons affaire à une séquence de certains objets x 1, x 2, ..., xn,..., ordonné, par exemple, par relation, puis à partir de ce qui est exécuté x1x2... xn..., cela devrait suivre cela pour n'importe quelle paire x je, x j les éléments de cette séquence sont également remplis x jexj:

Pour une paire d'éléments x jej dans le graphe de relation, nous dessinons une flèche partant du sommet x je jusqu'au sommet xj, c'est-à-dire du plus petit élément au plus grand.

Le graphe de relation d'ordre peut être simplifié en utilisant la méthode dite Diagrammes de Hasse. Le diagramme de Hasse est construit comme suit. Les éléments plus petits sont placés plus bas et les plus grands sont placés plus haut. Comme une telle règle à elle seule ne suffit pas à la représentation, des lignes sont tracées pour indiquer lequel des deux éléments est le plus grand et lequel est plus petit que l'autre. Dans ce cas, il suffit de tracer uniquement des lignes pour les éléments qui se suivent immédiatement. Des exemples de diagrammes de Hasse sont présentés dans la figure :

Vous n'êtes pas obligé d'inclure des flèches dans un diagramme de Hasse. Le diagramme de Hasse peut pivoter dans un plan, mais pas arbitrairement. Lors du virage, il est nécessaire de maintenir la position relative (en haut - en bas) des sommets du diagramme :

Attitude R. en quantité X appelé attitude d'ordre strict, s'il est transitif et asymétrique.

Un ensemble dans lequel une relation d'ordre strict est définie est appelé commandé. Par exemple, l'ensemble des nombres naturels est ordonné par la relation « inférieur à ». Mais ce même ensemble est également ordonné par une autre relation : « divisé en » et « plus ».

Le graphique de la relation « inférieur à » dans l'ensemble des nombres naturels peut être représenté par un rayon :

Attitude R. V X relation appelée commande non stricte (partielle), s'il est transitif et antisymétrique. Toute relation d'ordre non strict est réflexive.

L'épithète « partiel » exprime le fait que tous les éléments d'un ensemble ne sont peut-être pas comparables sur un point donné.

Des exemples typiques de relations d'ordre partiel sont les relations « pas supérieur à », « pas moins que » et « pas supérieur à ». La particule « non » dans les noms des relations sert à exprimer leur réflexivité. La relation « pas plus que » coïncide avec la relation « inférieur ou égal » et la relation « pas moins » est la même que « supérieur ou égal ». À cet égard, l'ordre partiel est également appelé pas stricte en ordre. Souvent, une relation d'ordre partielle (non stricte) est désignée par le symbole "".

La relation d'inclusion Í entre les sous-ensembles d'un certain ensemble est également un ordre partiel. Il est évident que deux sous-ensembles ne sont pas comparables à cet égard. La figure ci-dessous montre l'ordre d'inclusion partielle sur l'ensemble de tous les sous-ensembles de l'ensemble (1,2,3). Les flèches du graphique qui devraient pointer vers le haut ne sont pas affichées.

Les ensembles sur lesquels un ordre partiel est donné sont appelés partiellement commandé, ou simplement commandé ensembles.

Éléments X Et à l'ensemble partiellement ordonné est appelé comparez avec nous Si Xà ou àX. Sinon, ils ne sont pas comparables.

Un ensemble ordonné dans lequel deux éléments quelconques sont comparables est appelé ordonné linéairement, et l'ordre est un ordre linéaire. L’ordre linéaire est également appelé ordre parfait.

Par exemple, l’ensemble de tous les nombres réels d’ordre naturel, ainsi que tous ses sous-ensembles, sont ordonnés linéairement.

Des objets de nature les plus variées peuvent être commandés hiérarchiquement. Voici quelques exemples.

Exemple 1 : Les parties d'un livre sont organisées de manière à ce qu'un livre contienne des chapitres, que les chapitres contiennent des sections et que les sections contiennent des sous-sections.

Exemple 2. Les dossiers du système de fichiers informatique sont imbriqués les uns dans les autres, formant une structure de branchement.

Exemple 3. La relation entre parents et enfants peut être décrite comme ce qu'on appelle arbre généalogique, qui montre qui est l'ancêtre (ou la progéniture) de qui.

Laisse sur le plateau UN une commande partielle est donnée. Élément X appelé maximum minimum)élément de l'ensemble A, si du fait que Xà(àX), l'égalité suit X= toi. Autrement dit, l'élément X est maximum (minimum) si pour n'importe quel élément à ou n'est-ce pas vrai que Xà(àX), ou est exécuté X=toi. Ainsi, l'élément maximum (minimum) est plus grand (plus petit) que tous les éléments distincts de lui avec lesquels il est en relation.

Élément X appelé le plus grand (le plus petit), si pour quelqu'un àÎ UN effectué à< х (х< у).

Un ensemble partiellement ordonné peut avoir plusieurs éléments minimum et/ou maximum, mais il ne peut y avoir plus d'un élément minimum et maximum. Le plus petit (le plus grand) élément est également le minimum (le maximum), mais l’inverse n’est pas vrai. La figure de gauche montre un ordre partiel avec deux éléments minimum et deux éléments maximum, et à droite un ordre partiel avec les éléments les plus petits et les plus grands :

Dans un ensemble fini partiellement ordonné, il y a toujours des éléments minimum et maximum.

Un ensemble ordonné contenant le plus grand et le plus petit élément est appelé limité. La figure montre un exemple d’ensemble borné infini. Bien sûr, il est impossible de représenter un ensemble infini sur une page finie, mais on peut montrer le principe de sa construction. Ici, les boucles proches des sommets ne sont pas représentées pour simplifier le dessin. Pour la même raison, les arcs qui assurent l'affichage de la propriété de transitivité ne sont pas affichés. En d’autres termes, la figure montre le diagramme de Hasse de la relation d’ordre.

Les ensembles infinis ne peuvent pas avoir d'éléments maximum ou minimum, ou les deux. Par exemple, l'ensemble des nombres naturels (1,2, 3, ...) a un plus petit élément de 1, mais pas de maximum. L’ensemble de tous les nombres réels d’ordre naturel n’a ni le plus petit ni le plus grand élément. Cependant, son sous-ensemble composé de tous les nombres X< 5, possède le plus grand élément (le chiffre 5), mais ne possède pas le plus petit.

Un tas de X (style d'affichage X), sur lequel la relation d'ordre partiel est introduite, est appelé partiellement commandé. Une relation d'ordre partiel non stricte est souvent désignée par ≼ (\displaystyle \preccurlyeq ).

Possibilités

Relation d'ordre partiel R (style d'affichage R) appelé ordre linéaire, si la condition est remplie

Un tas de X (style d'affichage X), sur lequel une relation d'ordre linéaire est introduite, est appelé ordonné linéairement, ou chaîne.

Attitude R (style d'affichage R), satisfaisant uniquement les conditions de réflexivité et de transitivité est appelé précommande, ou quasi-commande.

Ordre strict

Si la condition de réflexivité est remplacée par la condition d’anti-réflexivité :

alors nous obtenons la définition strict, ou ordre partiel anti-réflexif(généralement indiqué par le symbole ≺ (\displaystyle \prec )).

Commentaire. L’anti-réflexivité et la transitivité simultanées d’une relation entraînent l’antisymétrie. La relation est donc relation d'ordre strict si et seulement si elle est anti-réflexive et transitive.

En général, si R (style d'affichage R) est une relation transitive et antisymétrique, alors

Exemples

• Sur l'ensemble des nombres réels, les relations « plus que » et « moins que » sont des relations d'ordre strict, et « supérieur ou égal à » et « inférieur ou égal à » sont des relations non strictes.
• La relation de divisibilité sur un ensemble d'entiers est une relation d'ordre non strict.

Dimension Dushnik-Miller

Histoire

Panneaux < {\displaystyle <} Et > (\style d'affichage >) a inventé

Propriétés des relations :

1) réflexivité ;

2) symétrie ;

3) transitivité.

4) connectivité.

Attitude R. sur un plateau X appelé réfléchissant, si à propos de chaque élément de l'ensemble X on peut dire qu'il est en couple R. Avec moi-même: XRx. Si la relation est réflexive, alors il y a une boucle à chaque sommet du graphe. Inversement, un graphe dont chaque sommet contient une boucle est un graphe de relations réflexives.

Des exemples de relations réflexives sont la relation « multiple » sur l'ensemble des nombres naturels (chaque nombre est un multiple de lui-même), et la relation de similarité des triangles (chaque triangle est semblable à lui-même), et la relation « d'égalité » ( chaque nombre est égal à lui-même), etc.

Il existe des relations qui n'ont pas la propriété de réflexivité, par exemple la relation de perpendiculaire des segments : ab, ba(il n'y a pas un seul segment dont on puisse dire qu'il est perpendiculaire à lui-même) . Par conséquent, il n’y a pas une seule boucle dans le graphique de cette relation.

La relation « plus long » pour les segments, « plus de 2 » pour les nombres naturels, etc. n'a pas la propriété de réflexivité.

Attitude R. sur un plateau X appelé antireflet, si pour n'importe quel élément de l'ensemble X toujours faux XRéception : .

Il existe des relations qui ne sont ni réflexives ni antiréflexives. Un exemple d'une telle relation est la relation « point X symétrique au point à relativement droit je", défini sur un ensemble de points du plan. En effet, tous les points d'une droite je sont symétriques par rapport à eux-mêmes et les points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite je, eux-mêmes ne sont pas symétriques.

Attitude R. sur un plateau X appelé symétrique, si la condition est remplie : du fait que l'élément X est par rapport à l'élément oui, il s'ensuit que l'élément oui est en relation R. avec élément X:xRyyRx.

Le graphe de relations symétriques a la caractéristique suivante : avec chaque flèche provenant de XÀ oui, le graphique contient une flèche partant de ouiÀ X(Fig. 35).

Des exemples de relations symétriques peuvent être les suivants : la relation de « parallélisme » de segments, la relation de « perpendiculaire » de segments, la relation d'« égalité » de segments, la relation de similarité de triangles, la relation d'« égalité » de fractions, etc.

Il existe des relations qui n'ont pas la propriété de symétrie.

En effet, si le segment X plus long que le segment à, puis le segment à ne peut pas être plus long que le segment X. Le graphique de cette relation a une particularité : la flèche reliant les sommets n'est dirigée que dans une seule direction.

Attitude R. appelé antisymétrique, si pour des éléments X Et oui de la vérité xRy devrait être faux yRx : xRyyRx.

En plus de la relation « plus longue », il existe d’autres relations antisymétriques sur de nombreux segments. Par exemple, la relation « supérieur à » pour les nombres (si X plus à, Que à il ne peut pas y en avoir plus X), l’attitude « en savoir plus », etc.

Il existe des relations qui n’ont ni la propriété de symétrie ni la propriété d’antisymétrie.

Relation R sur un ensemble X appelé transitif, si de cet élément X est en relation R. avec élément oui, et élément oui est en relation R. avec élément z, il s'ensuit que l'élément X est en relation R. avec élément z: xRy Et yRzxRz.

Graphique de relation transitive avec chaque paire de flèches provenant de XÀ oui et de ouiÀ z, contient une flèche partant de XÀ z.

La relation « plus longue » sur un ensemble de segments possède également la propriété de transitivité : si le segment UN plus long que le segment b, segment de ligne b plus long que le segment Avec, puis le segment UN plus long que le segment Avec. La relation d’« égalité » sur un ensemble de segments possède également la propriété de transitivité : (une=b, b=c)(a=c).

Il existe des relations qui n'ont pas la propriété de transitivité. Une telle relation est par exemple la relation de perpendiculaire : si un segment UN perpendiculaire au segment b, et le segment b perpendiculaire au segment Avec, puis les segments UN Et Avec pas perpendiculaire !

Il existe une autre propriété des relations, appelée propriété de connexité, et une relation qui la possède est appelée connectée.

Attitude R. sur un plateau X appelé connecté, si pour des éléments X Et ouià partir de cet ensemble, la condition suivante est satisfaite : si X Et oui sont différents, alors soit X est en relation R. avec élément oui, ou élément oui est en relation R. avec élément X. En utilisant des symboles, cela peut s'écrire comme ceci : xyxRy ou yRx.

Par exemple, la relation « supérieur à » pour les nombres naturels a la propriété de connexité : pour tout nombre distinct x et y, on peut énoncer : x>y, ou y>x.

Dans un graphe de relations connectées, deux sommets quelconques sont reliés par une flèche. L’affirmation inverse est également vraie.

Il existe des relations qui n’ont pas la propriété de connectivité. Une telle relation, par exemple, est la relation de divisibilité sur l'ensemble des nombres naturels : on peut nommer de tels nombres x et oui quel que soit le numéro X n'est pas un diviseur d'un nombre oui, pas de numéro oui n'est pas un diviseur d'un nombre X(Nombres 17 Et 11 , 3 Et 10 etc.) .

Regardons quelques exemples. Sur le plateau X=(1, 2, 4, 8, 12) la relation « nombre » est donnée X multiple du nombre oui" Construisons un graphique de cette relation et formulons ses propriétés.

La relation d’égalité des fractions est dite relation d’équivalence.

Attitude R. sur un plateau X appelé relation d'équivalence, s'il possède simultanément les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité.

Des exemples de relations d'équivalence comprennent : les relations d'égalité de figures géométriques, les relations de parallélisme des lignes (à condition que les lignes coïncidentes soient considérées comme parallèles).

Dans la relation « d’égalité des fractions » discutée ci-dessus, l’ensemble X divisé en trois sous-ensembles : ( ; ; }, {; } , (). Ces sous-ensembles ne se coupent pas et leur union coïncide avec l'ensemble X, c'est à dire. nous avons une partition de l'ensemble en classes.

Donc, si une relation d'équivalence est donnée sur un ensemble X, alors elle génère une partition de cet ensemble en sous-ensembles disjoints par paires - classes d'équivalence.

Ainsi, nous avons établi que la relation d'égalité sur l'ensemble
X=( ;; ; ; ; ) correspond à la partition de cet ensemble en classes d'équivalence dont chacune est constituée de fractions égales entre elles.

Le principe de partitionnement d'un ensemble en classes à l'aide d'une relation d'équivalence est un principe mathématique important. Pourquoi?

Premièrement, équivalent signifie équivalent, interchangeable. Les éléments d’une même classe d’équivalence sont donc interchangeables. Ainsi, les fractions qui sont dans la même classe d'équivalence (; ; ), sont indiscernables du point de vue de la relation d'égalité, et la fraction peut être remplacé par un autre, par exemple . Et ce remplacement ne changera pas le résultat des calculs.

Deuxièmement, puisque la classe d'équivalence contient des éléments indiscernables du point de vue d'une relation, on pense que la classe d'équivalence est déterminée par l'un de ses représentants, c'est-à-dire un élément arbitraire de la classe. Ainsi, n'importe quelle classe de fractions égales peut être spécifiée en spécifiant n'importe quelle fraction appartenant à cette classe. la classe d'équivalence par un représentant vous permet d'étudier un ensemble de représentants des classes d'équivalence au lieu de tous les éléments de l'ensemble. Par exemple, la relation d'équivalence « avoir le même nombre de sommets », définie sur un ensemble de polygones, engendre une partition de cet ensemble en classes de triangles, quadrangles, pentagones, etc. les propriétés inhérentes à une certaine classe sont considérées sur l'un de ses représentants.

Troisièmement, le partitionnement d'un ensemble en classes à l'aide d'une relation d'équivalence permet d'introduire de nouveaux concepts. Par exemple, le concept de « faisceau de lignes » peut être défini comme ce que les lignes parallèles ont en commun entre elles.

Un autre type de relation important est la relation d’ordre. Considérons le problème. X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) la relation « a le même reste lorsqu'elle est divisée par 3 " Cette relation génère une partition de l'ensemble X en classes : tous les nombres tomberont en un, une fois divisés par 3 il s'avère que c'est le reste 0 (ce sont des chiffres 3, 6, 9 ). Dans le second - les nombres, lorsqu'ils sont divisés par 3 le reste est 1 (ce sont des chiffres 4, 7, 10 ). Le troisième contiendra tous les nombres qui, divisés par 3 le reste est 2 (ce sont des chiffres 5, 8 ). En effet, les ensembles résultants ne se coupent pas et leur union coïncide avec l'ensemble X. Par conséquent, la relation « a le même reste lorsqu’elle est divisée par 3 ", défini sur le plateau X, est une relation d'équivalence.

Pour prendre un autre exemple, les nombreux élèves d'une classe peuvent être triés par taille ou par âge. Notez que cette relation a les propriétés d’antisymétrie et de transitivité. Ou tout le monde connaît l’ordre des lettres dans l’alphabet. Elle est assurée par l’attitude « devrait ».

Attitude R. sur un plateau X appelé relation d'ordre strict, s'il possède simultanément les propriétés d'antisymétrie et de transitivité. Par exemple, la relation " X< oui».

Si la relation a les propriétés de réflexivité, d'antisymétrie et de transitivité, alors elle sera telle relation non stricte. Par exemple, la relation " Xoui».

Des exemples de relations d'ordre incluent : la relation « inférieur à » sur un ensemble de nombres naturels, la relation « plus courte » sur un ensemble de segments. Si une relation d’ordre possède également la propriété de connexité, alors on dit qu’elle est relation d'ordre linéaire. Par exemple, la relation « inférieur à » sur l’ensemble des nombres naturels.

Un tas de X appelé ordonné, si une relation d'ordre y est spécifiée.

Par exemple, beaucoup X={2, 8, 12, 32 ) peut être ordonné en utilisant la relation « inférieur à » (Fig. 41), ou cela peut être fait en utilisant la relation « multiple » (Fig. 42). Mais étant des relations d’ordre, les relations « inférieur à » et « multiple » ordonnent l’ensemble des nombres naturels de différentes manières. La relation « inférieur à » vous permet de comparer deux nombres quelconques d'un ensemble. X, mais la relation « multiple » n’a pas cette propriété. D'accord, quelques chiffres. 8 Et 12 n’est pas lié à la relation « multiple » : on ne peut pas dire que 8 plusieurs 12 ou 12 plusieurs 8.

Il ne faut pas penser que toutes les relations se divisent en relations d'équivalence et en relations d'ordre. Il existe un très grand nombre de relations qui ne sont ni des relations d’équivalence ni des relations d’ordre.

Relation d'équivalence. Le lien entre la relation d'équivalence et la partition d'un ensemble en classes

Définition. Attitude R. sur un plateau X est appelée relation d'équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.

Exemple. Considérons la relation " X camarade de classe à"sur de nombreux étudiants de la Faculté d'éducation. Il possède les propriétés suivantes :

1) réflexivité, car chaque élève est son propre camarade de classe ;

2) symétrie, parce que si un étudiant X à, alors l'étudiant à est un camarade de classe de l'élève X;

3) transitivité, car si un étudiant X- camarade de classe à, et l'étudiant à– camarade de classe z, alors l'étudiant X sera le camarade de classe de l'élève z.

Ainsi, cette relation a les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité, et est donc une relation d'équivalence. Dans le même temps, de nombreux étudiants de la Faculté d’éducation peuvent être divisés en sous-ensembles constitués d’étudiants suivant le même cours. Nous obtenons 5 sous-ensembles.

Les relations d'équivalence sont aussi, par exemple, la relation de parallélisme des lignes, la relation d'égalité des figures. Chacune de ces relations est associée au partitionnement de l'ensemble en classes.

Théorème. Si sur le plateau Xétant donné une relation d'équivalence, il divise alors cet ensemble en sous-ensembles disjoints par paires (classes d'équivalence).

L'affirmation inverse est également vraie : si une relation définie sur l'ensemble X, génère une partition de cet ensemble en classes, alors c'est une relation d'équivalence.

Exemple. Sur le plateau X= (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8) la relation « avoir le même reste lorsqu'il est divisé par 3 » est spécifiée. Est-ce une relation d'équivalence ?

Construisons un graphique de cette relation : (indépendamment)

Cette relation a les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité, c'est donc une relation d'équivalence et divise l'ensemble X aux classes d’équivalence. Dans chaque classe d'équivalence, il y aura des nombres qui, divisés par 3, donneront le même reste : X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

On pense que la classe d'équivalence est déterminée par l'un de ses représentants, c'est-à-dire un élément arbitraire de cette classe. Ainsi, une classe de fractions égales peut être spécifiée en spécifiant n'importe quelle fraction appartenant à cette classe.

Dans le cours initial de mathématiques, on rencontre aussi des relations d'équivalence, par exemple « expressions X Et à ont les mêmes valeurs numériques", "figure Xégal au chiffre à».

Définition. Attitude R. sur un plateau X est appelée relation d'ordre si elle est transitive et asymétrique ou antisymétrique.

Définition. Attitude R. sur un plateau X est appelée relation d'ordre strict si elle est transitive et asymétrique.

Exemples relations d'ordre strict : « plus » sur l'ensemble des nombres naturels, « plus haut » sur l'ensemble des personnes, etc.

Définition. Attitude R. sur un plateau X est appelée relation d'ordre non stricte si elle est transitive et antisymétrique.

Exemples relations d'ordre non strict : « pas plus » sur l'ensemble des nombres réels, « être un diviseur » sur l'ensemble des nombres naturels, etc.

Définition. Un tas de X est appelé ordonné si une relation d'ordre y est spécifiée.

Exemple. Sur le plateau X= (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5) deux relations sont données : « X £ à" Et " X- diviseur à».

Ces deux relations ont les propriétés de réflexivité, d'antisymétrie et de transitivité (construisez des graphiques et vérifiez vous-même les propriétés), c'est-à-dire sont des relations d’ordre non strict. Mais la première relation a la propriété de connexité, alors que la seconde n’en a pas.

Définition. Relation d'ordre R. sur un plateau X est appelée relation d'ordre linéaire si elle a la propriété de connexité.

A l'école primaire, de nombreuses relations d'ordre sont étudiées. Déjà en première année, il existe des relations « moins », « plus » sur l'ensemble des nombres naturels, « plus court », « plus long » sur l'ensemble des segments, etc.

Questions de contrôle

1. Définir une relation binaire sur un ensemble X.

2. Comment rédiger une déclaration indiquant que les éléments X Et à sont en couple R.?

3. Énumérez les façons de définir les relations.

4. Formulez les propriétés que peuvent avoir les relations. Comment ces propriétés sont-elles reflétées dans le graphique ?

5. Quelles propriétés une relation doit-elle avoir pour qu'elle soit une relation d'équivalence ?

6. Comment la relation d'équivalence est-elle liée à la partition d'un ensemble en classes ?

7. Quelles propriétés une relation doit-elle avoir pour qu'elle soit une relation d'ordre ?