Centro di gravità di un corpo rigido. Metodi per trovare il baricentro. Centro di gravità di un corpo solido e metodi per trovarne la posizione Distribuzione della massa nel corpo umano

La prima scoperta di Archimede in meccanica fu l'introduzione del concetto di baricentro, cioè prova che in ogni corpo esiste un unico punto in cui il suo peso può essere concentrato senza disturbare lo stato di equilibrio.

Il centro di gravità di un corpo è il punto di un corpo solido attraverso il quale passa, in qualsiasi posizione dello spazio, la risultante di tutte le forze gravitazionali agenti sulle masse elementari di questo corpo.

Baricentro del sistema meccanicoè il punto rispetto al quale il momento di gravità totale agente su tutti i corpi del sistema è pari a zero.

In poche parole, centro di gravità- questo è il punto a cui viene applicata la forza di gravità, indipendentemente dalla posizione del corpo stesso. Se il corpo è omogeneo, centro di gravità solitamente situato nel centro geometrico del corpo. Pertanto, il centro di gravità di un cubo omogeneo o di una palla omogenea coincide con il centro geometrico di questi corpi.

Le coordinate del baricentro del corpo possono essere determinate utilizzando le formule (Fig. 7.1):

, , ,

Dove – peso corporeo x io, sì io, z io– coordinate di una particella elementare, peso P i;.

Le formule per determinare le coordinate del baricentro di un corpo sono accurate, in senso stretto, solo quando il corpo è diviso in un numero infinito di particelle elementari infinitamente piccole che pesano P i. Se il numero di particelle in cui il corpo è mentalmente diviso è finito, allora nel caso generale queste formule saranno approssimative, poiché le coordinate x io, y io, z io in questo caso possono essere determinati solo con l'accuratezza delle dimensioni delle particelle. Più piccole sono queste particelle, minore sarà l'errore che commetteremo nel calcolare le coordinate del baricentro. Le espressioni esatte possono essere raggiunte solo come risultato del passaggio al limite, quando la dimensione di ciascuna particella tende a zero e il loro numero aumenta indefinitamente. Come è noto, tale limite è detto integrale definito. Pertanto, la determinazione effettiva delle coordinate dei centri di gravità dei corpi nel caso generale richiede la sostituzione delle somme con i loro integrali corrispondenti e l'uso di metodi di calcolo integrale.

Se la massa all'interno di un corpo solido o di un sistema meccanico è distribuita in modo non uniforme, il baricentro si sposta nella parte dove è più pesante.

Non sempre il centro di gravità di un corpo si trova nemmeno all'interno del corpo stesso. Quindi, ad esempio, il centro di gravità di un boomerang si trova da qualche parte nel mezzo tra le estremità del boomerang, ma all'esterno del corpo del boomerang stesso.

Per il fissaggio dei carichi la posizione del baricentro è molto importante. È a questo punto che vengono applicate le forze di gravità e le forze inerziali che agiscono sul carico durante il movimento. Quanto più alto è il baricentro di un corpo o di un sistema meccanico, tanto più probabile è il ribaltamento.

Il centro di gravità del corpo coincide con il centro di massa.

Selezioniamo un volume elementare dV=dx dy dz in un solido disomogeneo (Fig. 5.3). Il peso dell'elemento selezionato sarà , dove è il peso specifico in un punto del corpo con le coordinate corrispondenti.

I pesi degli elementi formano un sistema di forze parallelo all'asse applicato. Modulo risultante

viene chiamato pesi degli elementi peso corpo rigido e il punto geometrico di applicazione della risultante è centro di gravità corpo solido. Per calcolare queste quantità, utilizziamo le formule (5.1) e (5.4), sostituendo la loro somma con l'integrazione sul volume, cioè

La quantità al numeratore della formula (5.8) è chiamata momento statico del peso di un corpo rigido rispetto al piano delle coordinate.

Ovviamente, per un corpo omogeneo, la formula (5.8) assume la forma

La struttura delle formule per i calcoli è simile.

In questo caso il centro di gravità del corpo solido coincide con il centro del suo volume.

Se una delle dimensioni di un corpo solido è significativamente più piccola delle altre due, viene chiamato corpo superficie pesante. Con un peso costante per unità di superficie, è omogeneo. Le formule per calcolare il peso e le coordinate del baricentro si ottengono da (5.7) – (5.9) sostituendo gli integrali sul volume con integrali sulla superficie. In alcuni casi la superficie potrebbe essere piana.

Se due dimensioni di un corpo solido sono significativamente più piccole della terza, viene chiamato corpo linea pesante. Con un peso costante per unità di lunghezza della linea, è omogenea. Le formule per il calcolo del peso e delle coordinate del baricentro si ottengono da (5.7) – (5.9) sostituendo gli integrali di volume con integrali curvilinei. In alcuni casi la linea potrebbe essere diritta.

Se un corpo solido omogeneo ha un piano di simmetria, allora il centro di gravità del corpo si trova in questo piano (la somma dei momenti statici delle forze peso elementari rispetto al piano di simmetria è zero).

Se un corpo solido omogeneo ha due piani di simmetria, il centro di gravità del corpo appartiene alla linea di intersezione di questi piani.

Se un corpo solido omogeneo ha tre piani di simmetria, il centro di gravità del corpo si trova nel punto della loro intersezione.

Se un corpo rigido può essere suddiviso mentalmente in elementi di cui si conoscono pesi e posizioni dei baricentri, allora il peso del corpo rigido e la posizione del suo baricentro possono essere calcolati utilizzando le formule (5.1) e (5.4). Ad esempio, vengono calcolati il ​​peso e le coordinate del baricentro di una nave in costruzione.

Se il corpo presenta dei ritagli, questi possono essere conteggiati come elementi di peso negativo.

Si noti che nella letteratura ingegneristica di riferimento esiste un numero abbastanza elevato di elementi omogenei (volumetrici, piani e curvi), per i quali vengono calcolati i pesi e le posizioni dei baricentri. La tabella seguente ne mostra alcuni.

In alcune situazioni, la posizione del baricentro di un corpo rigido può essere ricavata dai risultati dell'esperimento. Ad esempio, quando si appende un corpo a un filo, il suo centro di gravità si trova sulla linea del filo. Appendendo il corpo ad un altro punto che non giace sulla prima linea, troviamo la posizione del baricentro del corpo come punto di intersezione di due linee. Un altro metodo utilizzato per trovare il baricentro dei corpi estesi è il cosiddetto posizionandolo su “coltelli” a lame parallele. Quando i “coltelli” si uniscono, il baricentro del corpo tende a restare tra di loro e, al limite, finisce sulla linea di coincidenza delle lame.

Nella pratica ingegneristica, per determinare la posizione del centro di gravità di un corpo è possibile utilizzare metodi che combinano calcolo ed esperimento. Ad esempio, diamo il calcolo della distanza del baricentro dell'aereo, mostrato in Fig. 5.4., dalla sua ruota anteriore.

Nella figura: D è un dinamometro che mostra l'entità della normale forza di pressione della ruota anteriore, P è il peso dell'aereo, è la distanza dalla ruota anteriore all'asse delle ruote posteriori.

Ovviamente, la distanza di interesse dalla ruota anteriore alla linea di forza peso dell'aereo può essere ottenuta dall'equazione della somma dei momenti di forza e P attorno all'asse delle ruote posteriori, come

Nota: se non si conosce il peso P dell'aereo, spostando il dinamometro D sotto le ruote posteriori, si ottiene il valore della forza di pressione normale. Poi

Esempio 5.1. Per una piastra omogenea avente la forma di un settore circolare con un angolo 2 al vertice (vedi Fig. 5.5), trovare la posizione del baricentro della piastra.

Disegniamo l'asse x in modo che sia la bisettrice dell'angolo 2. Quindi, per simmetria, l'ordinata del baricentro è uguale a zero, cioè .

Usando due raggi, il cui angolo elementare è , selezioniamo un elemento sulla piastra la cui area è approssimativamente uguale all'area di un triangolo isoscele

L'ascissa del baricentro dell'elemento triangolare selezionato è uguale a .

Ora possiamo costruire un'espressione per calcolare l'ascissa del baricentro di un settore circolare come

Nota: durante il calcolo si è tenuto conto che il baricentro di un corpo piatto omogeneo ha le stesse coordinate nel piano di quelle della corrispondente figura piana.

Esempio 5.2. Per una piastra sottile omogenea di forma complessa, le cui dimensioni sono indicate in Fig. 5.6, trova la posizione del baricentro.

Dividiamo mentalmente il piatto in tre elementi: un rettangolo, un triangolo e un cerchio. Per ciascuno degli elementi troviamo l'area e le coordinate del baricentro:

Quindi per la piastra le coordinate del baricentro possono essere calcolate utilizzando le formule:

Durante il calcolo, il foro è stato considerato come l'attaccamento di un cerchio di peso negativo.

Centro di gravità

un punto geometrico, invariabilmente associato a un corpo solido, attraverso il quale passa la risultante di tutte le forze gravitazionali agenti sulle particelle di questo corpo in qualsiasi posizione di quest'ultimo nello spazio; potrebbe non coincidere con nessuno dei punti di un dato corpo (ad esempio vicino ad un anello). Se un corpo libero è sospeso su fili fissati in sequenza a diversi punti del corpo, le direzioni di questi fili si intersecheranno al centro del corpo. La posizione del centro di massa di un corpo solido in un campo di gravità uniforme coincide con la posizione del suo centro di massa (vedi Centro di massa). Spezzare il corpo con i pesi pk, per cui le coordinate xk, yk, zk I loro punti centrali sono noti, puoi trovare le coordinate del punto centrale di tutto il corpo usando le formule:

Grande Enciclopedia Sovietica. - M.: Enciclopedia sovietica. 1969-1978 .

Scopri cos'è il "centro di gravità" in altri dizionari:

Il centro di massa (centro di inerzia, baricentro) in meccanica è un punto geometrico che caratterizza il movimento di un corpo o di un sistema di particelle nel suo insieme. Contenuti 1 Definizione 2 Centri di massa di figure omogenee 3 In meccanica ... Wikipedia

Un punto invariabilmente associato ad un corpo solido attraverso il quale passa la risultante delle forze gravitazionali che agiscono sulle particelle di questo corpo in qualsiasi posizione del corpo nello spazio. Per un corpo omogeneo che abbia un centro di simmetria (cerchio, palla, cubo, ecc.),... ... Dizionario enciclopedico

Geom. un punto invariabilmente associato ad un corpo solido attraverso il quale la forza risultante di tutte le forze gravitazionali agenti sulle particelle del corpo lo attraversa in qualsiasi posizione nello spazio; può non coincidere con nessuno dei punti di un dato corpo (ad esempio, in ... ... Enciclopedia fisica

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Centro di gravità- CENTRO DI GRAVITÀ, il punto attraverso il quale passa la risultante delle forze di gravità agenti sulle particelle di un corpo solido in qualsiasi posizione del corpo nello spazio. Per un corpo omogeneo che ha un centro di simmetria (cerchio, palla, cubo, ecc.), il centro di gravità è... Dizionario enciclopedico illustrato

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Libri

• Centro di gravità, il romanzo di A.V. Polyarinov ricorda un complesso sistema di laghi. Contiene cyberpunk e i maestosi disegni di David Mitchell, Borges e David Foster Wallace... Ma i suoi eroi sono giovani giornalisti,...

Se un corpo solido si trova vicino alla superficie della Terra, la gravità viene applicata a ciascun punto materiale di questo corpo. Inoltre, le dimensioni del corpo sono così piccole rispetto alle dimensioni della Terra che le forze di gravità che agiscono su tutte le particelle del corpo possono essere considerate parallele tra loro

Centro (punto CON) viene chiamato un sistema di forze gravitazionali parallele in tutti i punti del corpo baricentro di un corpo rigido , e si chiama la somma delle forze gravitazionali di tutti i suoi punti materiali gravità , agendo su di lui

Le coordinate del baricentro di un corpo solido sono determinate dalle formule:

dove sono le coordinate dei punti di applicazione delle forze di gravità su cui agiscono k punto materiale.

Per un corpo omogeneo:

dove V è il volume dell'intero corpo;

V k- volume k-esime particelle.

Per una piastra sottile uniforme:

dove S è l'area del piatto;

S k- piazza k- oh parte del piatto.

Per la linea:

Dove l- lunghezza dell'intera linea;

Luca- lunghezza k-esima parte della linea.

Metodi per determinare le coordinate dei centri di gravità dei corpi:

Teorico

Simmetria. Se un corpo omogeneo ha un piano, un asse o un centro di simmetria, il suo centro di gravità si trova rispettivamente nel piano di simmetria, o sull'asse, o nel centro di simmetria.

Divisione. Se un corpo può essere diviso in un numero finito di tali parti, per ciascuna delle quali è nota la posizione del baricentro, allora le coordinate del baricentro dell'intero corpo possono essere calcolate direttamente utilizzando le formule sopra.

Aggiunta. Questo metodo è un caso speciale del metodo di partizionamento. Si applica alle carrozzerie con intagli se sono noti i baricentri della carrozzeria senza intagli e la parte intagliata. Sono inclusi nei calcoli con il segno “-”.

Integrazione. Quando un corpo non può essere suddiviso in parti componenti di cui si conosce il baricentro, si utilizza il metodo dell'integrazione, che è universale.

Sperimentale

Metodo di sospensione. Il corpo è sospeso a due o tre punti, disegnando da essi linee verticali. Il punto della loro intersezione è il centro di massa.

Metodo di pesatura. Il corpo viene posizionato in diverse parti su scale, determinando così le reazioni di supporto. Vengono elaborate equazioni di equilibrio, da cui vengono determinate le coordinate del baricentro.

Utilizzando metodi teorici, formule per determinare coordinate del baricentro più comune corpi omogenei:

Arco di cerchio