Вписанная в четырехугольник окружность. Вписанный четырехугольник Доказать что четырехугольник описанный
Окружность называется вписанной в четырехугольник, если все стороны четырехугольника являются касательными к окружности.
Центром этой окружности является точка пересечения биссектрис углов четырехугольника. В этом случае радиусы, проведенные в точки касания являются перпендикулярами к сторонам четырехугольника
Окружность называется описанной около четырехугольника, если она проходит через все его вершины.
Центром этой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырехугольника
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность и не около всякого четырехугольника можно описать окружность
СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ
ТЕОРЕМА В выпуклом вписанном четырехугольнике суммы противолежащих углов равны между собой и равны 180°.
ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих углов равны, то около четырехугольника можно описать окружность. Ее центр - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
ТЕОРЕМА Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон его равны.
ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. Ее центр - точка пересечения биссектрис.
Следствия: из всех параллелограммов только около прямоугольника (в частности около квадрата) можно описать окружность.
Из всех параллелограммов только в ромб (в частности в квадрат) можно вписать окружность (центр - точка пересечения диагоналей, радиус - равен половине высоты).
Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная. Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Если в трапецию вписана окружность, то радиус ее равен половине высоты.
Задания с решениями
1. Найти диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.
Центром окружности, описанной около прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Следовательно, диагональ АС
равна 2R
. То есть АС
=10
Ответ: 10.
2. Около трапеции, основания которой 6 см и 8 см, а высота 7см, описан круг Найти площадь этого круга.
Пусть DC =6, AB =8. Так как около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.
Проведем две высоты DM и CN .Так как трапеция равнобедренная, то AM=NB =
Тогда AN =6+1=7
Из треугольника ANС по теореме Пифагора найдем АС .
Из треугольника CВN по теореме Пифагора найдем ВС .
Окружность, описанная около трапеции, является и окружностью, описанной около треугольника АСВ.
Найдем площадь этого треугольника двумя способами по формулам
Гдe h - высота и - основание треугольника
Где R- радиус описанной окружности.
Из этих выражений получаем уравнение . Откуда
Площадь круга будет равна
3. Углы , и четырехугольника относятся как . Найдите угол , если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах
Из условия следует, что .Так как около четырехугольника можно описать окружность, то
Получаем уравнение . Тогда . Сумма всех углов четырехугольника равна 360º. Тогда
. откуда получаем, что
4.Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.
Тогда средняя линия равна
5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
В трапеции радиус вписанной окружности равен половине высоты. Проведем высоту СК.
Тогда .
Так как в трапецию вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Тогда
Тогда периметр
Получаем уравнение
6. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.
Пусть О центр описанной около трапеции окружности. Тогда .
Проведем высоту КН через точку О
Тогда , где КО и ОН высоты и одновременно медианы равнобедренных треугольников DOC и АОВ. Тогда
По теореме Пифагора.
Разделы: Математика , Конкурс «Презентация к уроку»
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели.
Образовательная. Создание условий для успешного усвоения понятия описанного четырёхугольника, его свойства, признака и овладения умениями применять их на практике.
Развивающая. Развитие математических способностей, создание условий для умения обобщать и применять прямой и обратный ход мыслей.
Воспитательная. Воспитание чувства красоты эстетикой чертежей, удивления необычным
решением, формирование организованности, ответственность за результаты своего труда.
1. Изучить определение описанного четырёхугольника.
2. Доказать свойство сторон описанного четырёхугольника.
3. Познакомить с двойственностью свойств сумм противоположных сторон и противоположных углов вписанного и описанного четырёхугольников.
4. Дать опыт практического применения рассмотренных теорем при решении задач.
5. Провести первичный контроль уровня усвоения нового материала.
Оборудование:
- компьютер, проектор;
- учебник “Геометрия. 10-11 классы” для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни авт. А.В. Погорелов.
Программные средства: Microsoft Word, Microsoft Power Point.
Использование компьютера при подготовке учителя к уроку.
С помощью стандартной программы операционной системы Windows созданы к уроку:
- Презентация.
- Таблицы.
- Чертежи.
- Раздаточный материал.
План урока
Ход урока
1. Организационный момент. Приветствие. Сообщение темы и цели урока. Запись в тетради даты и темы урока.
2. Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
Работа над понятием описанного многоугольника.
Определение. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
Вопрос. Какие из предложенных многоугольников являются описанными, а какие не являются и почему?
<Презентация. Слайд №2>
Доказательство свойств описанного четырёхугольника.
<Презентация. Слайд №3>
Теорема. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Учащиеся работают с учебником, записывают формулировку теоремы в тетрадь.
1. Представить формулировку теоремы в форме условного предложения.
2. Каково условие теоремы?
3. Каково заключение теоремы?
Ответ. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны.
Проводится доказательство, учащиеся делают записи в тетради.
<Презентация. Слайд №4>
Учитель. Отметим двойственность ситуаций для сторон и углов описанного и вписанного четырёхугольников.
Закрепление полученных знаний.
Задачи.
Ответ. 1. 10 м. 2. 20 м. 3. 21 м
Доказательство признака описанного четырёхугольника.
Сформулировать обратную теорему.
Ответ. Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность. (Вернуться к слайду 2, рис.7) <Презентация. Слайд №2>
Учитель. Уточните формулировку теоремы.
Теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Работа с учебником. Познакомиться с доказательством признака описанного четырёхугольника по учебнику.
Применение полученных знаний.
3. Задачи по готовым чертежам.
1. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник с противоположными сторонами 9 м и 4 м, 10 м и 3 м?
2. Можно ли вписать окружность в равнобокую трапецию с основаниями 1 м и 9 м, высотой 3 м?
<Презентация. Слайд №6>
Письменная работа в тетрадях
.Задача. Найти радиус окружности, вписанной в ромб с диагоналями 6 м и 8 м.
<Презентация. Слайд № 7>
4. Самостоятельная работа.
1 вариант
1. Можно ли вписать окружность
1) в прямоугольник со сторонами 7 м и 10 м,
2. Противоположные стороны четырёхугольника, описанного около окружности, равны 7 м и 10 м.
Найти периметр четырёхугольника.
3. Равнобокая трапеция с основаниями 4 м и 16 м описана около окружности.
1) радиус вписанной окружности,
2 вариант
1. Можно ли вписать окружность:
1) в параллелограмм со сторонами 6 м и 13 м,
2) в квадрат?
2. Противоположные стороны четырёхугольника, описанного около окружности, равны 9 м и 11 м. Найти периметр четырёхугольника.
3. Равнобокая трапеция с боковой стороной 5 м описана около окружности с радиусом 2 м.
1) основание трапеции,
2) радиус описанной окружности.
5. Домашнее задание. П.86, № 28, 29, 30.
6. Итог урока. Проверяется самостоятельная работа, выставляются оценки.
<Презентация. Слайд № 8>
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
- В евклидовой геометрии , вписанный четырехугольник - это четырехугольник, у которого все вершины лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной окружностью четырехугольника, а вершины, как говорят, лежат на одной окружности. Центр этой окружности и ее радиус называются соответственно центром и радиусом описанной окружности. Другие термины для этого четырехугольника: четырехугольник лежит на одной окружности , стороны последнего четырехугольника являются хордами окружности. Обычно предполагается, что выпуклый четырехугольник является выпуклым четырехугольником. Формулы и свойства, приведенные ниже, действительны в выпуклом случае.
- Говорят, что если около четырёхугольника можно описать окружность , то четырёхугольник вписан в эту окружность , и наоборот.
Общие критерии вписанности четырехугольника
- Около выпуклого четырёхугольника радиан), то есть:
или в обозначениях рисунка:
- Можно описать окружность около любого четырехугольника, у которого пересекаются в одной точке четыре серединных перпендикуляра его сторон (или медиатрисы его сторон, то есть перпендикуляры к сторонам, проходящие через их середины).
- Можно описать окружность около любого четырехугольника, у которого один внешний угол, смежный с данным внутренним углом , точно равен другому внутреннему углу, противолежащему данному внутреннему углу . По сути это условие есть условие антипараллельности двух противоположных сторон четырехугольника. На рис. ниже показан внешний и смежный с ним внутренний углы зеленого пятиугольника.
- Пересечение X может быть внутренним или внешним по отношению к кругу. В первом случае получим вписанный четырехугольник является ABCD , а в последнем случае получим вписанный четырехугольник ABDC . При пересечении внутри круга, равенство гласит, что произведение длин сегментов, в котором точка X делит одну диагональ, равна произведению длин сегментов, в котором точка X делит другую диагональ. Это условие известно, как "теорема о пересекающихся хордах". В нашем случае диагонали вписанного четырехугольника являются хордами окружности.
- Еще один критерий вписанности. Выпуклый четырехугольник ABCD вписан круг тогда и только тогда, когда
Частные критерии вписанности четырехугольника
Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник является выпуклым . Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° ( радиан). Можно описать окружность около:
- любого антипараллелограмма
- любого прямоугольника (частный случай квадрат)
- любой равнобедренной трапеции
- любого четырехугольника, у которого два противоположных угла прямые.
Свойства
Формулы с диагоналями
;В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d , b и c опираются своими концами на диагональ длиной e . Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя.
- Формулы для длин диагоналей (следствия ):
Формулы с углами
Для вписанного четырехугольника с последовательностью сторон a , b , c , d , с полупериметром p и углом A между сторонами a и d , тригонометрические функции угла A даются формулами
Угол θ между диагоналями есть :p.26
- Если противоположные стороны a и c пересекаются под углом φ , то он равен
где p есть полупериметр . :p.31
Радиус окружности, описанной около четырёхугольника
Формула Парамешвара (Parameshvara)
Если четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d и полупериметром p вписан окружность, то ее радиус равен по формуле Парамешвара :p. 84
Она была получена индийским математиком Парамешваром в 15 веке (ок. 1380–1460 гг.)
- Выпуклый четырёхугольник (см. рис. справа), образованный четырьмя данными прямыми Микеля , вписан в окружность тогда и только тогда, когда точка Микеля M четырёхугольника лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF .
Критерий того, что четырехугольник, составленный из двух треугольников, вписан в некоторую окружность
- Последнее условие дает выражение для диагонали f четырёхугольника, вписанного в окружность, через длины четырех его сторон (a , b , c , d ). Эта формула немедленно следует при перемножении и при приравнивании друг другу левых и правых частей формул, выражающих суть первой и второй теорем Птолемея (см.выше).
Критерий того, что четырехугольник, отрезанный прямой линией от треугольника, вписан в некоторую окружность
- Прямая, антипараллельная стороне треугольника и пересекающая его, отсекает от него четырёхугольник, около которого всегда можно описать окружность.
- Следствие. Около антипараллелограмма , у которого две противоположные стороны антипараллельны, всегда можно описать окружность.
Площадь вписанного в окружность четырёхугольника
Варианты формулы Брахмагупты
где p - полупериметр четырёхугольника.Другие формулы площади
где θ любой из углов между диагоналями. При условии, что угол A не является прямым, площадь также может быть выражена как :p.26
где R есть радиус описанной окружности . Как прямое следствие имеем неравенство
где равенство возможно тогда и только тогда, когда этот четырехугольник является квадратом.
Четырехугольники Брахмагупты
Четырехугольник Брахмагупты является четырехугольником, вписанным в окружность, с целыми значениями длин сторон, целыми значениями его диагоналей и с целым значением его площади. Все возможные четырехугольники Брахмагупты со сторонами a , b , c , d , с диагоналями e , f , с площадью S , и радиусом описанной окружности R могут быть получены путем освобождения от знаменателей следующих выражений, включающих рациональные параметры t , u , и v :
Примеры
- Частными четырёхугольниками, вписанными в окружность, являются: прямоугольник , квадрат , равнобедренная или равнобочная трапеция , антипараллелограмм .
Четырехугольники, вписанные в окружность с перпендикулярными диагоналями (вписанные ортодиагональные четырехугольники)
Свойства четырехугольников, вписанных в окружность с перпендикулярными диагоналями
Радиус описанной окружности и площадь
У четырехугольника, вписанного в окружность с перпендикулярными диагоналями, предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длины p 1 и p 2 , а другую диагональ делит на отрезки длины q 1 и q 2 . Тогда (Первое равенство является Предложением 11 у Архимеда " Книга лемм )
где D - диаметр cокружности . Это справедливо, потому что диагонали перпендикулярны хорды окружности . Из этих уравнений следует, что радиус описанной окружности R может быть записан в виде
или в терминах сторон четырехугольника в виде
Отсюда также следует, что
- Для вписанных ортодиагональных четырехугольников справедлива теорема Брахмагупты :
Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке , то две пары его антимедиатрис проходят через точку .
Замечание . В этой теореме под антимедиатрисой понимают отрезок четырехугольника на рисунке справа (по аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника). Он перпендикулярен одной стороне и одновременно проходит через середину противоположной ей стороны четырехугольника.
Напишите отзыв о статье "Четырехугольники, вписанные в окружность"
Примечания
- Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates , Highperception, с. 179, ISBN 1906338000 , OCLC
- . Вписанные четырёхугольники.
- Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929), Trigonometry , Cambridge University Press, с. 202, OCLC
- Durell, C. V. & Robson, A. (2003),
, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
- Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum Geometricorum
Т. 7: 147–9,
- Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
- Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette Т. 84 (499): 69–70
- .
- Altshiller-Court, Nathan (2007), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), Courier Dover, сс. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2 , OCLC
- Honsberger, Ross (1995), , Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , vol. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, сс. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
- Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
- Bradley, Christopher (2011),
,
- .
- Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), , Geometry Revisited , Mathematical Association of America, сс. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
- .
- Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Mathematical Olympiad Treasures , Springer, сс. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
- .
- Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), "", Bulletin of the Australian Mathematical Society Т. 59 (2): 263–9, DOI 10.1017/S0004972700032883
- .
- Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. Co., 2007
- , с. 74.
- .
- .
- .
- Peter, Thomas (September 2003), "Maximizing the area of a quadrilateral", The College Mathematics Journal Т. 34 (4): 315–6
- Prasolov, Viktor,
,
- Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), ,
, Mathematical Association of America, с. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
- Sastry, K.R.S. (2002). «» (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
- Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Challenging Problems in Geometry (2nd ed.), Courier Dover, сс. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
- .
- .
- .
См. также
|
Статья содержит короткие («гарвардские ») ссылки на публикации, не указанные или неправильно описанные в библиографическом разделе.
Список неработающих ссылок: , , , , , , , , , – Ну, что, казак мой? (Марья Дмитриевна казаком называла Наташу) – говорила она, лаская рукой Наташу, подходившую к ее руке без страха и весело. – Знаю, что зелье девка, а люблю. Она достала из огромного ридикюля яхонтовые сережки грушками и, отдав их именинно сиявшей и разрумянившейся Наташе, тотчас же отвернулась от нее и обратилась к Пьеру. – Э, э! любезный! поди ка сюда, – сказала она притворно тихим и тонким голосом. – Поди ка, любезный… И она грозно засучила рукава еще выше. Пьер подошел, наивно глядя на нее через очки. – Подойди, подойди, любезный! Я и отцу то твоему правду одна говорила, когда он в случае был, а тебе то и Бог велит. Она помолчала. Все молчали, ожидая того, что будет, и чувствуя, что было только предисловие. – Хорош, нечего сказать! хорош мальчик!… Отец на одре лежит, а он забавляется, квартального на медведя верхом сажает. Стыдно, батюшка, стыдно! Лучше бы на войну шел. Она отвернулась и подала руку графу, который едва удерживался от смеха. – Ну, что ж, к столу, я чай, пора? – сказала Марья Дмитриевна. Впереди пошел граф с Марьей Дмитриевной; потом графиня, которую повел гусарский полковник, нужный человек, с которым Николай должен был догонять полк. Анна Михайловна – с Шиншиным. Берг подал руку Вере. Улыбающаяся Жюли Карагина пошла с Николаем к столу. За ними шли еще другие пары, протянувшиеся по всей зале, и сзади всех по одиночке дети, гувернеры и гувернантки. Официанты зашевелились, стулья загремели, на хорах заиграла музыка, и гости разместились. Звуки домашней музыки графа заменились звуками ножей и вилок, говора гостей, тихих шагов официантов. На одном конце стола во главе сидела графиня. Справа Марья Дмитриевна, слева Анна Михайловна и другие гостьи. На другом конце сидел граф, слева гусарский полковник, справа Шиншин и другие гости мужского пола. С одной стороны длинного стола молодежь постарше: Вера рядом с Бергом, Пьер рядом с Борисом; с другой стороны – дети, гувернеры и гувернантки. Граф из за хрусталя, бутылок и ваз с фруктами поглядывал на жену и ее высокий чепец с голубыми лентами и усердно подливал вина своим соседям, не забывая и себя. Графиня так же, из за ананасов, не забывая обязанности хозяйки, кидала значительные взгляды на мужа, которого лысина и лицо, казалось ей, своею краснотой резче отличались от седых волос. На дамском конце шло равномерное лепетанье; на мужском всё громче и громче слышались голоса, особенно гусарского полковника, который так много ел и пил, всё более и более краснея, что граф уже ставил его в пример другим гостям. Берг с нежной улыбкой говорил с Верой о том, что любовь есть чувство не земное, а небесное. Борис называл новому своему приятелю Пьеру бывших за столом гостей и переглядывался с Наташей, сидевшей против него. Пьер мало говорил, оглядывал новые лица и много ел. Начиная от двух супов, из которых он выбрал a la tortue, [черепаховый,] и кулебяки и до рябчиков он не пропускал ни одного блюда и ни одного вина, которое дворецкий в завернутой салфеткою бутылке таинственно высовывал из за плеча соседа, приговаривая или «дрей мадера», или «венгерское», или «рейнвейн». Он подставлял первую попавшуюся из четырех хрустальных, с вензелем графа, рюмок, стоявших перед каждым прибором, и пил с удовольствием, всё с более и более приятным видом поглядывая на гостей. Наташа, сидевшая против него, глядела на Бориса, как глядят девочки тринадцати лет на мальчика, с которым они в первый раз только что поцеловались и в которого они влюблены. Этот самый взгляд ее иногда обращался на Пьера, и ему под взглядом этой смешной, оживленной девочки хотелось смеяться самому, не зная чему. Николай сидел далеко от Сони, подле Жюли Карагиной, и опять с той же невольной улыбкой что то говорил с ней. Соня улыбалась парадно, но, видимо, мучилась ревностью: то бледнела, то краснела и всеми силами прислушивалась к тому, что говорили между собою Николай и Жюли. Гувернантка беспокойно оглядывалась, как бы приготавливаясь к отпору, ежели бы кто вздумал обидеть детей. Гувернер немец старался запомнить вое роды кушаний, десертов и вин с тем, чтобы описать всё подробно в письме к домашним в Германию, и весьма обижался тем, что дворецкий, с завернутою в салфетку бутылкой, обносил его. Немец хмурился, старался показать вид, что он и не желал получить этого вина, но обижался потому, что никто не хотел понять, что вино нужно было ему не для того, чтобы утолить жажду, не из жадности, а из добросовестной любознательности. На мужском конце стола разговор всё более и более оживлялся. Полковник рассказал, что манифест об объявлении войны уже вышел в Петербурге и что экземпляр, который он сам видел, доставлен ныне курьером главнокомандующему. Раздвинули бостонные столы, составили партии, и гости графа разместились в двух гостиных, диванной и библиотеке. Пьер сидел в гостиной, где Шиншин, как с приезжим из за границы, завел с ним скучный для Пьера политический разговор, к которому присоединились и другие. Когда заиграла музыка, Наташа вошла в гостиную и, подойдя прямо к Пьеру, смеясь и краснея, сказала: В середине третьего экосеза зашевелились стулья в гостиной, где играли граф и Марья Дмитриевна, и большая часть почетных гостей и старички, потягиваясь после долгого сиденья и укладывая в карманы бумажники и кошельки, выходили в двери залы. Впереди шла Марья Дмитриевна с графом – оба с веселыми лицами. Граф с шутливою вежливостью, как то по балетному, подал округленную руку Марье Дмитриевне. Он выпрямился, и лицо его озарилось особенною молодецки хитрою улыбкой, и как только дотанцовали последнюю фигуру экосеза, он ударил в ладоши музыкантам и закричал на хоры, обращаясь к первой скрипке: В то время как у Ростовых танцовали в зале шестой англез под звуки от усталости фальшививших музыкантов, и усталые официанты и повара готовили ужин, с графом Безухим сделался шестой удар. Доктора объявили, что надежды к выздоровлению нет; больному дана была глухая исповедь и причастие; делали приготовления для соборования, и в доме была суетня и тревога ожидания, обыкновенные в такие минуты. Вне дома, за воротами толпились, скрываясь от подъезжавших экипажей, гробовщики, ожидая богатого заказа на похороны графа. Главнокомандующий Москвы, который беспрестанно присылал адъютантов узнавать о положении графа, в этот вечер сам приезжал проститься с знаменитым Екатерининским вельможей, графом Безухим. |
Определение .
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.
Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?
Теорема 1 .
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны .
В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если
И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:
то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Теорема 2 .
Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис .
O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.
AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,
то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.
3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.
AM=AN,
5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
где p — полупериметр четырехугольника.
Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.
Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и
1 . Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше суммы его двух противоположных сторон.
2 . Если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника
а) равны, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны;
б) перпендикулярны, то диагонали четырёхугольника равны.
3 . Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на её средней линии.
4 . Стороны параллелограмма равны и . Тогда четырёхугольник, образованный пересечениями биссектрис углов параллелограмма, является прямоугольником, диагонали которого равны .
5 . Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
6 . На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD взяты точки М и N так, что прямые МС и NC делят параллелограмм на три равновеликие части. Найдите MN, если BD=d.
7 . Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.
8 . Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями и проведена прямая, параллельная основаниям. Отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами трапеции, равен .
9 . Трапеция разделена прямой, параллельной её основаниям, равным и , на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, равен .
10 . Если выполняется одно из следующих условий, то четыре точки А, В, С и D лежат на одной окружности.
а) CAD=CBD = 90°.
б) точки А и В лежат по одну сторону от прямой CD и угол CAD равен углу CBD.
в) прямые АС и BD пересекаются в точке О и О А ОС=ОВ OD.
11 . Прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых АВ и CD, делит сторону AD пополам. Тогда она делит пополам и сторону ВС.
12 . Каждая сторона выпуклого четырёхугольника поделена на три равные части. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены отрезками. Тогда эти отрезки делят друг друга на три равные части.
13 . Две прямые делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Тогда между этими прямыми заключена треть площади четырёхугольника.
14 . Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то отрезок, соединяющий точки, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон четырёхугольника, проходит через точку пересечения диагоналей.
15 . Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в такой четырёхугольник можно вписать окружность.
16. Свойства вписанного четырёхугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Р. Тогда
а) медиана треугольника АРВ перпендикулярна стороне CD;
б) ломаная АОС делит четырёхугольник ABCD на две равновеликие фигуры;
в) АВ 2 +CD 2 =4R 2 ;
г) АР 2 +ВР 2 +СР 2 +DP 2 = 4R 2 и АВ 2 +ВС 2 +CD 2 +AD 2 =8R 2 ;
д) расстояние от центра окружности до стороны четырёхугольника вдвое меньше противоположной стороны.
е) если перпендикуляры, опущенные на сторону AD из вершин В и С, пересекают диагонали АС и BD в точках Е и F, то BCFE - ромб;
ж) четырёхугольник, вершины которого - проекции точки Р на стороны четырёхугольника ABCD, - и вписанный, и описанный;
з) четырёхугольник, образованный касательными к описанной окружности четырёхугольника ABCD, проведёнными в его вершинах, можно вписать в окружность.
17 . Если a, b, c, d - последовательные стороны четырёхугольника, S - его площадь, то , причем равенство имеет место только для вписанного четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
18
. Формула Брахмагупты.
Если стороны вписанного четырехугольника равны a, b, с
и d,
то его площадь S
может быть вычислена по формуле ,
где - полупериметр четырехугольника.
19 . Если четырёхугольник со сторонами а , b, с, d можно вписать и около него можно описать окружность, то его площадь равна .
20 . Точка Р расположена внутри квадрата ABCD, причем угол PAB равен углу РВА и равен 15°. Тогда треугольник DPC - равносторонний.
21 . Если для вписанного четырёхугольника ABCD выполнено равенство CD=AD+ВС, то биссектрисы его углов А и В пересекаются на стороне CD.
22 . Продолжения противоположных сторон АВ и CD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке М, а сторон AD и ВС - в точке N. Тогда
а) биссектрисы углов AMD и DNC взаимно перпендикулярны;
б) прямые МQ и NQ пересекают стороны четырёхугольника в вершинах ромба;
в) точка пересечения Q этих биссектрис лежит на отрезке, соединяющем середины диагоналей четырёхугольника ABCD.
23 . Теорема Птолемея. Сумма произведений двух пар противоположных сторон вписанного четырёхугольника равна произведению его диагоналей.
24 . Теорема Ньютона. Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.
25 . Теорема Монжа. Прямые, проведённые через середины сторон вписанного четырёхугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.
27 . Четыре круга, построенных на сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах, покрывают весь четырёхугольник.
29 . Два противоположных угла выпуклого четырёхугольника - тупые. Тогда диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.
30. Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма вне его, сами образуют квадрат.