Těžiště tuhého tělesa. Metody hledání těžiště. Těžiště pevného tělesa a metody zjišťování jeho polohy Rozložení hmoty v lidském těle

Archimédovým prvním objevem v mechanice bylo zavedení pojmu těžiště, tzn. důkaz, že v každém tělese je jediný bod, do kterého lze soustředit jeho hmotnost, aniž by došlo k narušení rovnovážného stavu.

Těžiště tělesa je bod pevného tělesa, kterým prochází výslednice všech gravitačních sil působících na elementární hmoty tohoto tělesa v libovolné poloze v prostoru.

Těžiště mechanického systému je bod, vůči němuž je celkový gravitační moment působící na všechna tělesa soustavy roven nule.

Jednoduše řečeno, těžiště- to je bod, na který působí gravitační síla, bez ohledu na polohu samotného těla. Pokud je tělo homogenní, těžiště se obvykle nachází v geometrickém středu těla. Těžiště v homogenní krychli nebo homogenní kouli se tedy shoduje s geometrickým středem těchto těles.

Souřadnice těžiště tělesa lze určit pomocí vzorců (obr. 7.1):

, , ,

Kde – tělesná hmotnost x i, y i, z i– souřadnice elementární částice, hmotnost P i;.

Vzorce pro určení souřadnic těžiště tělesa jsou přesné, přísně vzato, pouze když je těleso rozděleno na nekonečný počet nekonečně malých elementárních částic o hmotnosti P i. Pokud je počet částic, na které je tělo mentálně rozděleno, konečný, pak v obecném případě budou tyto vzorce přibližné, protože souřadnice x i, y i, z i v tomto případě je lze určit pouze s přesností velikosti částic. Čím menší tyto částice jsou, tím menší chybu uděláme při výpočtu souřadnic těžiště. Přesných výrazů lze dosáhnout pouze v důsledku přechodu na limit, kdy velikost každé částice má tendenci k nule a jejich počet se neomezeně zvyšuje. Jak známo, taková limita se nazývá určitý integrál. Proto vlastní určení souřadnic těžišť těles v obecném případě vyžaduje nahrazení součtů jejich odpovídajícími integrály a použití metod integrálního počtu.

Pokud je hmota uvnitř pevného tělesa nebo mechanického systému rozložena nerovnoměrně, pak se těžiště přesune do části, kde je těžší.

Těžiště tělesa se nemusí vždy nacházet uvnitř samotného tělesa. Takže například těžiště bumerangu je někde uprostřed mezi konci bumerangu, ale mimo tělo samotného bumerangu.

Pro zajištění nákladu je velmi důležitá poloha těžiště. Právě v tomto bodě se uplatňují gravitační a setrvačné síly působící na zátěž při pohybu. Čím výše je těžiště tělesa nebo mechanického systému, tím je náchylnější k převrácení.

Těžiště těla se shoduje s těžištěm.

Zvolme elementární objem dV=dx dy dz v nehomogenním tělese (obr. 5.3). Hmotnost vybraného prvku bude , kde je specifická hmotnost v bodě tělesa s odpovídajícími souřadnicemi.

Hmotnosti prvků tvoří soustavu sil rovnoběžnou s osou aplikace. Výsledný modul

se nazývá váhy prvků hmotnost tuhé těleso a geometrickým bodem aplikace výslednice je těžiště pevné tělo. K výpočtu těchto veličin používáme vzorce (5.1) a (5.4), přičemž sčítání v nich nahrazujeme integrací přes objem, tzn.

Veličina v čitateli vzorce (5.8) se nazývá statický moment hmotnosti tuhého tělesa vzhledem k rovině souřadnic.

Je zřejmé, že pro homogenní těleso má vzorec (5.8) formu

Struktura vzorců pro výpočty je podobná.

V tomto případě se těžiště pevného tělesa shoduje se středem jeho objemu.

Pokud je jeden z rozměrů pevného tělesa výrazně menší než ostatní dva, nazývá se těleso těžký povrch. Při konstantní hmotnosti na jednotku plochy je homogenní. Vzorce pro výpočet hmotnosti a souřadnic těžiště se získají z (5.7) – (5.9) nahrazením integrálů přes objem integrály nad povrchem. V některých případech může být povrch plochý.

Pokud jsou dva rozměry pevného tělesa výrazně menší než třetí, nazývá se těleso těžká čára. Při konstantní hmotnosti na jednotku délky vlasce je homogenní. Vzorce pro výpočet hmotnosti a souřadnic těžiště získáme z (5.7) – (5.9) nahrazením objemových integrálů křivočarými integrály. V některých případech může být čára rovná.

Pokud má homogenní pevné těleso rovinu souměrnosti, pak těžiště tělesa leží v této rovině (součet statických momentů elementárních tíhových sil vůči rovině symetrie je nulový).

Má-li homogenní pevné těleso dvě roviny souměrnosti, pak těžiště tělesa náleží průsečíku těchto rovin.

Pokud má homogenní pevné těleso tři roviny symetrie, pak se těžiště tělesa nachází v bodě jejich průsečíku.

Pokud lze tuhé těleso mentálně rozdělit na prvky, jejichž hmotnosti a polohy těžišť jsou známé, pak lze hmotnost tuhého tělesa a polohu jeho těžiště vypočítat pomocí vzorců (5.1) a (5.4). Počítá se například hmotnost a souřadnice těžiště rozestavěné lodi.

Pokud má tělo výřezy, lze je považovat za prvky záporné hmotnosti.

Všimněte si, že v technické referenční literatuře existuje poměrně velký počet homogenních prvků (objemových, plochých a zakřivených), pro které se počítají hmotnosti a polohy těžišť. Níže uvedená tabulka ukazuje některé z nich.

V některých situacích lze polohu těžiště tuhého tělesa zjistit z výsledků experimentu. Například při zavěšování tělesa na nit se jeho těžiště nachází na čáře nitě. Zavěšením tělesa za jiný bod, který neleží na první přímce, zjistíme polohu těžiště tělesa jako průsečík dvou přímek. Další metodou, jak zjistit těžiště vysunutých těles, je tzv. položení na „nože“ s rovnoběžnými čepelemi. Když se „nože“ spojí, těžiště těla má tendenci zůstat mezi nimi a v limitu končí na linii shody ostří.

V inženýrské praxi lze pro určení polohy těžiště tělesa použít metody, které jsou kombinací výpočtu a experimentu. Jako příklad uveďme výpočet vzdálenosti těžiště letadla, znázorněného na obr. 5.4., od jeho předního kola.

Na obrázku: D je dynamometr ukazující velikost normálové tlakové síly předního kola, P je hmotnost letadla, je vzdálenost od předního kola k ose zadních kol.

Je zřejmé, že zájmovou vzdálenost od předního kola k siločáry tíhy letadla lze získat z rovnice součtu momentů sil a P kolem osy zadních kol.

Poznámka: pokud není známa hmotnost letadla P, pak pohybem dynamometru D pod zadními koly můžete získat hodnotu normální tlakové síly. Pak

Příklad 5.1. Pro homogenní desku ve tvaru kruhové výseče s úhlem 2 na vrcholu (viz obr. 5.5) zjistěte polohu těžiště desky.

Nakreslíme osu x tak, aby byla sečna úhlu 2. Pak je v důsledku symetrie pořadnice těžiště rovna nule, tzn. .

Pomocí dvou poloměrů, jejichž elementární úhel je , vybereme prvek na desce, jehož plocha je přibližně stejná jako plocha rovnoramenného trojúhelníku

Osa úsečky těžiště vybraného trojúhelníkového prvku je rovna .

Nyní můžeme sestrojit výraz pro výpočet úsečky těžiště kruhového sektoru as

Poznámka: při výpočtu bylo bráno v úvahu, že těžiště homogenního plochého tělesa má v rovině stejné souřadnice jako odpovídající plochý obrazec.

Příklad 5.2. U tenké homogenní desky složitého tvaru, jejíž rozměry jsou naznačeny na obr. 5.6, zjistěte polohu těžiště.

Rozdělme mentálně desku na tři prvky: obdélník, trojúhelník a kruh. Pro každý z prvků najdeme plochu a souřadnice těžiště:

Poté lze pro desku vypočítat souřadnice těžiště pomocí vzorců:

Při výpočtu byl otvor považován za připojení kruhu se zápornou hmotností.

Těžiště

geometrický bod, vždy spojený s pevným tělesem, kterým prochází výslednice všech gravitačních sil působících na částice tohoto tělesa v jakékoli poloze tělesa v prostoru; nemusí se shodovat s žádným z bodů daného tělesa (například v blízkosti prstence). Pokud je volné těleso zavěšeno na vláknech připojených postupně k různým bodům tělesa, pak se směry těchto vláken protínají ve středu tělesa. Poloha těžiště pevného tělesa v rovnoměrném gravitačním poli se shoduje s polohou jeho těžiště (viz Těžiště). Rozbití těla závažím pk, pro které jsou souřadnice x k, y k, z k Jejich středové body jsou známé, souřadnice středového bodu celého těla zjistíte pomocí vzorců:

Velká sovětská encyklopedie. - M.: Sovětská encyklopedie. 1969-1978 .

Podívejte se, co je „Centrum gravitace“ v jiných slovnících:

Těžiště (střed setrvačnosti, barycentrum) v mechanice je geometrický bod, který charakterizuje pohyb tělesa nebo soustavy částic jako celku. Obsah 1 Definice 2 Těžiště homogenních útvarů 3 V mechanice ... Wikipedie

Bod vždy spojený s pevným tělesem, kterým prochází výslednice gravitačních sil působících na částice tohoto tělesa v jakékoli poloze tělesa v prostoru. Pro homogenní těleso, které má střed symetrie (kruh, koule, krychle atd.),... ... Encyklopedický slovník

Geom. bod trvale spojený s pevným tělesem, kterým prochází výsledná síla všech gravitačních sil působících na částice tělesa v libovolné poloze v prostoru; nemusí se shodovat s žádným z bodů daného tělesa (například v ... ... Fyzická encyklopedie

Bod vždy spojený s pevným tělesem, kterým prochází výslednice gravitačních sil působících na částice tohoto tělesa v jakékoli poloze tělesa v prostoru. Pro homogenní těleso, které má střed symetrie (kruh, koule, krychle atd.),... ... Velký encyklopedický slovník

Těžiště- TĚŽIŠTĚ, bod, kterým prochází výslednice gravitačních sil působících na částice pevného tělesa při libovolné poloze tělesa v prostoru. U homogenního tělesa, které má střed souměrnosti (kruh, koule, krychle atd.), je těžiště ... Ilustrovaný encyklopedický slovník

CENTRE OF GRAVITY, bod, ve kterém je soustředěna hmotnost tělesa a kolem kterého je jeho hmotnost rozložena a vyvážena. Volně padající předmět rotuje kolem svého těžiště, které se zase otáčí po trajektorii, která by byla popsána bodem... ... Vědeckotechnický encyklopedický slovník

těžiště- pevné tělo; těžiště Těžiště rovnoběžných gravitačních sil působících na všechny částice tělesa... Polytechnický terminologický výkladový slovník

Centroid Slovník ruských synonym. těžiště podstatné jméno, počet synonym: 12 hlavní (31) duch ... Slovník synonym

TĚŽIŠTĚ- Lidské tělo nemá stálou anatomii. umístění uvnitř těla a pohybuje se v závislosti na změnách držení těla; jeho exkurze vůči páteři mohou dosáhnout 20-25 cm Experimentální stanovení polohy centrálního nervového systému celého těla s... ... Velká lékařská encyklopedie

Místo působení výsledných tíhových sil (závaží) všech jednotlivých částí (dílů), které tvoří dané těleso. Pokud je těleso symetrické vzhledem k rovině, přímce nebo bodu, pak v prvním případě leží těžiště v rovině souměrnosti, ve druhém na ... ... Technický železniční slovník

těžiště- Geometrický bod pevného tělesa, kterým prochází výslednice všech gravitačních sil působících na částice tohoto tělesa v libovolné poloze v prostoru [Terminologický slovník konstrukce ve 12 jazycích (VNIIIS Gosstroy... ... Technická příručka překladatele

knihy

• Román těžiště A. V. Polyarinova připomíná složitý systém jezer. Obsahuje kyberpunk a majestátní návrhy Davida Mitchella, Borgese a Davida Fostera Wallace... Ale jejími hrdiny jsou mladí novináři,...

Pokud se v blízkosti povrchu Země nachází pevné těleso, pak na každý hmotný bod tohoto tělesa působí gravitace. Navíc jsou rozměry tělesa ve srovnání s velikostí Země tak malé, že gravitační síly působící na všechny částice tělesa lze považovat za vzájemně rovnoběžné.

Střed (bod S) nazýváme soustavu rovnoběžných gravitačních sil ve všech bodech tělesa těžiště tuhého tělesa , a součet gravitačních sil všech jeho hmotných bodů se nazývá gravitace , působící na něj

Souřadnice těžiště pevného tělesa jsou určeny vzorcem:

kde jsou souřadnice bodů působení tíhových sil, na které působí k hmotný bod.

Pro homogenní tělo:

kde V je objem celého těla;

PROTI k- objem k-té částice.

Pro jednotnou tenkou desku:

kde S je plocha desky;

S k – náměstí k- oh část talíře.

Pro řádek:

Kde L- délka celého řádku;

Lk- délka k-tá část řádku.

Metody určování souřadnic těžišť těles:

Teoretický

Symetrie. Pokud má homogenní těleso rovinu, osu nebo střed souměrnosti, pak jeho těžiště leží buď v rovině souměrnosti, nebo na ose, nebo ve středu souměrnosti.

Štípání. Pokud lze těleso rozdělit na konečný počet takových částí, z nichž pro každou je známa poloha těžiště, pak lze přímo vypočítat souřadnice těžiště celého tělesa pomocí výše uvedených vzorců.

Přidání. Tato metoda je speciálním případem metody rozdělení. Platí pro tělesa, která mají výřezy, pokud jsou známa těžiště tělesa bez výřezu a výřezu. Jsou zahrnuty do výpočtů se znaménkem „-“.

Integrace. Pokud nelze těleso rozdělit na součásti, jejichž těžiště jsou známa, použije se metoda integrace, která je univerzální.

Experimentální

Způsob zavěšení. Tělo je zavěšeno na dvou nebo třech bodech a kreslí z nich svislé čáry. Bod jejich průsečíku je těžištěm.

Metoda vážení. Těleso je umístěno v různých částech na váze, čímž se určují podpůrné reakce. Sestaví se rovnice rovnováhy, ze kterých se určí souřadnice těžiště.

Pomocí teoretických metod, vzorce pro stanovení souřadnice těžiště nejběžnější homogenní tělesa:

Oblouk kruhu