Trigonometrinen ympyrä. Yksityiskohtainen teoria esimerkeineen. Kaikki mitä sinun tulee tietää piireistä 1 ympyrän määritelmä

Antaa
- mielivaltainen ellipsin piste. Meillä on:
,
. Ellipsin määritelmästä

, (1.29)

tai - vaadittu ellipsin yhtälö, jota on hankala käyttää. Viimeisestä yhtälöstä seuraa, että .Koska
, niin voimme neliöttää yhtälön molemmat puolet ja vastaavien muunnosten jälkeen saamme:
. Siten,. Otetaan käyttöön uusi muuttuja
. Meillä on:
. Tästä tasa-arvosta seuraa se

. (1.30)

Yhtälöä (1.30) kutsutaan ellipsin kanoniseksi (yksinkertaiseksi) yhtälöksi. Tämä yhtälö on toisen asteen yhtälö. Siten mikä tahansa ellipsin piste, joka täyttää yhtälön (1.29), täyttää myös yhtälön (1.30). Osoitetaan, että kaikki tason pisteet, joiden koordinaatit täyttävät yhtälön (1.30), ovat ellipsin pisteitä, eli niiden koordinaatit täyttävät yhtälön (1.29).

Polttopisteen säteelle suhde pätee
. Yhtälöstä (1.30) meillä on:
. Siksi
, tai
. Samoin löydämme sen
. Siten,
.

Ellipsi on symmetrinen koordinaattiakseleiden suhteen, koska se sisältää vain parilliset potenssit Ja , ja suhteessa alkuperään. Ellipsin symmetria-akseleita kutsutaan sen akseleiksi ja symmetriakeskus on ellipsin keskipiste.

Ellipsi leikkaa koordinaattiakselit pisteissä
,
,
,
. Näitä pisteitä kutsutaan ellipsin pisteiksi. klo
ellipsi rappeutuu ympyräksi, jonka säde on ja keskelle lähtöpisteessä. Ellipsin kärjet rajoittavat pituussegmenttejä akseleilla
Ja
, ja
(tämä seuraa siitä tosiasiasta, että
).

Määrät Ja kutsutaan ellipsin suureksi ja pieneksi puoliakseliksi, ellipsin akselit ovat vastaavasti suur- ja sivuakselit.

Määritelmä. Ellipsin epäkeskisyys kutsutaan suhteeksi missä - puolet tarkennusten välisestä etäisyydestä, - puolisuurakseli, ts.

. (1.31)

Ottaen huomioon
, saamme
. Koska

, Tuo
. Jos
, eli ellipsi lähestyy ympyrää
. Jos
, A ei pyri nollaan, niin ellipsi on pitkänomainen pääakselia pitkin. Siten ellipsin epäkeskisyys luonnehtii sen venymän mittaa pääakselilla.

Jos pisteet ellipsin
Ja
sijaitsee ordinaatta-akselilla, niin tässä tapauksessa
ja iso on akselin akseli . Ellipsiyhtälöllä on myös muoto (1.30), mutta
, ja sen epäkeskisyys lasketaan kaavalla
.

Esimerkki 14. Kirjoita yhtälö ellipsille, jonka polttopisteet ovat x-akselilla symmetrisesti origon suhteen tietäen, että sen polttopisteiden välinen etäisyys
ja epäkeskisyys
.

Ratkaisu. Puolet tarkennusten välisestä etäisyydestä
. Ellipsin polttopisteet sijaitsevat x-akselilla, joten puolisuurakseli on . (1.31):stä seuraa, että
. Sitten. Siten ellipsin yhtälöllä on muoto
.

Esimerkki 15. Annettu ellipsi
. Etsi sen puoliakselit, polttopisteet, epäkeskisyys.

Ratkaisu. Pelkistetään ellipsin yhtälö kanoniseen muotoon. Voit tehdä tämän jakamalla yhtälön molemmat puolet luvulla 45, saamme
. Näin ollen sen puoliakseli
,
. Puolisuurakseli on puoliakseli , siksi ellipsin polttopisteet sijaitsevat ordinaatta-akselilla ja

, joten polttopisteet ovat pisteissä
Ja
. Ellipsin epäkeskisyys on yhtä suuri kuin puolet polttopisteiden välisestä etäisyydestä puolisuureen akseliin, ts.
.

Esimerkki 16. Laske nelikulmion pinta-ala
, kaksi huippua Ja jotka sijaitsevat ellipsin pisteissä
, kaksi muuta Ja
yhtyvät sen pienemmän akselin päiden kanssa.

Ratkaisu. Ellipsin kanonisella yhtälöllä on muoto
, Siksi
,
. Siksi nelikulmion kärjet Ja
niillä on vastaavat koordinaatit
Ja
. Etsitään pisteiden koordinaatit Ja . Koska
, Tuo
,
. Tuloksena oleva nelikulmio on symmetrinen koordinaattiakseleiden ja koordinaattien origon suhteen , siis,

.

Yleensä tämä kysymys ansaitsee erityistä huomiota, mutta kaikki on täällä yksinkertaista: asteen kulmassa sekä sini että kosini ovat positiivisia (katso kuva), sitten otamme "plus"-merkin.

Yritä nyt edellä olevan perusteella löytää kulmien sini ja kosini: ja

Voit huijata: erityisesti kulmassa asteina. Koska jos yksi suorakulmaisen kolmion kulma on yhtä suuri kuin asteet, niin toinen on yhtä suuri kuin asteet. Nyt tutut kaavat astuvat voimaan:

Siitä lähtien, sitten ja. Siitä lähtien ja. Asteilla se on vielä yksinkertaisempaa: jos suorakulmaisen kolmion yksi kulmista on yhtä suuri kuin asteet, niin toinen on yhtä suuri kuin asteet, mikä tarkoittaa, että kolmio on tasakylkinen.

Tämä tarkoittaa, että sen jalat ovat tasaiset. Tämä tarkoittaa, että sen sini ja kosini ovat yhtä suuret.

Etsi nyt käyttämällä uutta määritelmää (käyttäen X ja Y!) kulmien sini ja kosini asteina ja asteina. Et voi piirtää mitään kolmioita tänne! Niistä tulee liian litteitä!

Sinun olisi pitänyt saada:

Löydät tangentin ja kotangentin itse käyttämällä kaavoja:

Huomaa, että et voi jakaa nollalla!!

Nyt kaikki saadut luvut voidaan taulukoida:

Tässä ovat kulmien sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot 1. neljännes. Mukavuuden vuoksi kulmat on annettu sekä asteina että radiaaneina (mutta nyt tiedät niiden välisen suhteen!). Kiinnitä huomiota taulukon kahteen viivaan: nimittäin nollan kotangentti ja asteiden tangentti. Tämä ei ole sattumaa!

Erityisesti:

Yleistetään nyt sinin ja kosinin käsite täysin mielivaltaiseen kulmaan. Tarkastelen tässä kahta tapausta:

1. Kulma vaihtelee astetta
2. Kulma suurempi kuin astetta

Yleisesti ottaen väänsin hieman sydäntäni, kun puhuin "ehdottomasti kaikista" näkökulmista. Ne voivat olla myös negatiivisia! Mutta tarkastelemme tätä tapausta toisessa artikkelissa. Katsotaanpa ensin ensimmäistä tapausta.

Jos kulma on ensimmäisellä neljänneksellä, niin kaikki on selvää, olemme jo harkinneet tätä tapausta ja jopa piirtäneet taulukoita.

Olkoon kulmamme nyt enemmän kuin astetta eikä enempää kuin. Tämä tarkoittaa, että se sijaitsee joko 2., 3. tai 4. vuosineljänneksellä.

Mitä me teemme? Kyllä, aivan sama!

Katsotaanpa tämän sijaan...

...kuten tämä:

Eli harkitse toisella neljänneksellä olevaa kulmaa. Mitä voimme sanoa hänestä?

Pisteellä, joka on säteen ja ympyrän leikkauspiste, on edelleen 2 koordinaattia (ei mitään yliluonnollista, eikö?). Nämä ovat koordinaatit ja.

Lisäksi ensimmäinen koordinaatti on negatiivinen ja toinen on positiivinen! Se tarkoittaa sitä toisen neljänneksen kulmissa kosini on negatiivinen ja sini positiivinen!

Hämmästyttävää, eikö? Ennen tätä emme olleet koskaan kohdanneet negatiivista kosinia.

Ja periaatteessa näin ei voisi olla, kun pidettiin trigonometrisiä funktioita kolmion sivujen suhteena. Mieti muuten, millä kulmilla on sama kosini? Millä on sama sini?

Samoin voit ottaa huomioon kulmat kaikissa muissa neljänneksissä. Haluan vain muistuttaa, että kulma lasketaan vastapäivään! (kuten viimeisessä kuvassa!).

Tietysti voit laskea toiseen suuntaan, mutta lähestymistapa tällaisiin kulmiin on hieman erilainen.

Yllä olevan päättelyn perusteella voidaan järjestää sinin, kosinin, tangentin (sini jaettuna kosinilla) ja kotangentin (kosinina jaettuna sinillä) merkit kaikille neljälle neljännekselle.

Mutta jälleen kerran, ei ole mitään järkeä ulkoistaa tätä piirustusta. Kaikki mitä sinun tarvitsee tietää:

Harjoitellaan vähän kanssasi. Hyvin yksinkertaisia ​​tehtäviä:

Ota selvää, mikä merkki seuraavilla määrillä on:

Tarkastetaanko?

1. astetta on kulma, suurempi ja pienempi, mikä tarkoittaa, että se on 3 neljänneksessä. Piirrä mikä tahansa kulma kolmannella neljänneksellä ja katso, millainen pelaaja siinä on. Se tulee olemaan negatiivinen. Sitten.
   astetta - 2 neljänneskulmaa. Sini on positiivinen ja kosini negatiivinen. Plus jaettuna miinuksella on yhtä suuri kuin miinus. Keinot.
   astetta - kulma, suurempi ja pienempi. Tämä tarkoittaa, että se on neljännellä neljänneksellä. Minkä tahansa neljännen neljänneksen kulman kohdalla "x" on positiivinen, mikä tarkoittaa
2. Työskentelemme radiaanien kanssa samalla tavalla: tämä on toisen neljänneksen kulma (koska ja. Toisen neljänneksen sini on positiivinen.
   .
   , tämä on neljännen neljänneksen kulma. Siellä kosini on positiivinen.
   - jälleen neljännen neljänneksen kulma. Siellä kosini on positiivinen ja sini negatiivinen. Sitten tangentti on pienempi kuin nolla:

Ehkä sinun on vaikea määrittää neljänneksiä radiaaneina. Siinä tapauksessa voit aina mennä astetta. Vastaus on tietysti täsmälleen sama.

Haluaisin nyt hyvin lyhyesti käsitellä toista kohtaa. Muistetaanpa taas trigonometrinen perusidentiteetti.

Kuten jo sanoin, siitä voimme ilmaista sinin kosinin kautta tai päinvastoin:

Kyltin valintaan vaikuttaa vain se neljännes, jossa alfakulmamme sijaitsee. Unified State Exam -kokeen kahdessa viimeisessä kaavassa on paljon ongelmia, esimerkiksi nämä:

Tehtävä

Etsi jos ja.

Itse asiassa tämä on neljänneksen tehtävä! Katso kuinka se ratkaistaan:

Ratkaisu

Korvataan sitten arvo tähän. Nyt ei enää tarvitse tehdä muuta kuin käsitellä merkkiä. Mitä me tarvitsemme tähän? Tiedä, missä korttelissa nurkkamme sijaitsee. Ongelman ehtojen mukaan: . Mikä neljännes tämä on? Neljäs. Mikä on kosinin merkki neljännellä neljänneksellä? Neljännen vuosineljänneksen kosini on positiivinen. Sitten meidän tarvitsee vain valita edessä oleva plusmerkki. , Sitten.

En käsittele tällaisia ​​tehtäviä nyt yksityiskohtaisesti; niistä löydät yksityiskohtaisen analyysin artikkelista "". Halusin vain huomauttaa teille, kuinka tärkeää on, minkä merkin tämä tai tuo trigonometrinen funktio ottaa vuosineljänneksestä riippuen.

Kulmat suuremmat kuin asteet

Viimeinen asia, jonka haluaisin huomauttaa tässä artikkelissa, on mitä tehdä kulmille, jotka ovat suurempia kuin asteet?

Mitä se on ja minkä kanssa sitä voi syödä tukehtumisen välttämiseksi? Otetaan vaikka kulma asteina (radiaaneja) ja edetään siitä vastapäivään...

Kuvaan piirsin spiraalin, mutta ymmärrät, että todellisuudessa meillä ei ole mitään spiraalia: meillä on vain ympyrä.

Joten mihin päädymme, jos aloitamme tietystä kulmasta ja kävelemme koko ympyrän (asteet tai radiaanit)?

Minne me menemme? Ja tulemme samaan nurkkaan!

Sama pätee tietysti muihinkin kulmiin:

Ottamalla mielivaltaisen kulman ja kävelemällä koko ympyrän, palaamme samaan kulmaan.

Mitä tämä antaa meille? Tässä mitä: jos, niin

Mistä lopulta saamme:

Kaikille kokonaisuuksille. Se tarkoittaa sitä sini ja kosini ovat jaksollisia funktioita pisteen kanssa.

Näin ollen ei ole ongelmaa löytää nyt mielivaltaisen kulman merkki: meidän on vain hylättävä kaikki "koko ympyrät", jotka sopivat kulmaan ja selvitettävä, missä neljänneksessä jäljellä oleva kulma on.

Etsi esimerkiksi merkki:

Tarkistamme:

1. Asteina sopii ajat asteittain (asteet):
   astetta jäljellä. Tämä on 4 neljänneksen kulma. Siellä sini on negatiivinen, mikä tarkoittaa
2. . astetta. Tämä on 3 neljänneksen kulma. Siellä kosini on negatiivinen. Sitten
3. . . Siitä lähtien - ensimmäisen neljänneksen kulma. Siellä kosini on positiivinen. Sitten cos
4. . . Koska kulmamme on toisella neljänneksellä, jossa sini on positiivinen.

Voimme tehdä saman tangentille ja kotangentille. Itse asiassa ne ovat kuitenkin vielä yksinkertaisempia: ne ovat myös jaksollisia toimintoja, vain niiden jakso on 2 kertaa pienempi:

Joten ymmärrät, mikä trigonometrinen ympyrä on ja mihin sitä tarvitaan.

Mutta meillä on vielä paljon kysymyksiä:

1. Mitä ovat negatiiviset kulmat?
2. Kuinka laskea trigonometriset funktiot näissä kulmissa
3. Kuinka käyttää 1. vuosineljänneksen tunnettuja trigonometristen funktioiden arvoja etsimään funktioiden arvoja muilta neljänneksiltä (onko todella tarpeellista tukkia taulukkoa?!)
4. Kuinka voit käyttää ympyrää trigonometristen yhtälöiden ratkaisujen yksinkertaistamiseksi?

KESKITASO

No, tässä artikkelissa jatkamme trigonometrisen ympyrän tutkimusta ja keskustelemme seuraavista kohdista:

1. Mitä ovat negatiiviset kulmat?
2. Kuinka laskea trigonometristen funktioiden arvot näissä kulmissa?
3. Kuinka käyttää 1 neljänneksen trigonometristen funktioiden tunnettuja arvoja etsiäksesi muiden neljännesten funktioiden arvoja?
4. Mikä on tangenttiakseli ja kotangenttiakseli?

Emme tarvitse muita lisätietoja kuin perustaidot yksikköpiirin kanssa työskentelyssä (edellinen artikkeli). No, päästään ensimmäiseen kysymykseen: mitkä ovat negatiiviset kulmat?

Negatiiviset kulmat

Negatiiviset kulmat trigonometriassa piirretään trigonometriselle ympyrälle alusta alkaen myötäpäivään liikkeen suuntaan:

Muistetaan kuinka aiemmin piirtimme kulmia trigonometriselle ympyrälle: Aloitimme akselin positiivisesta suunnasta vastapäivään:

Sitten piirustuksessamme muodostetaan kulma, joka on yhtä suuri kuin. Rakensimme kaikki kulmat samalla tavalla.

Mikään ei kuitenkaan estä meitä siirtymästä akselin positiivisesta suunnasta myötäpäivään.

Saamme myös erilaisia ​​​​kulmia, mutta ne ovat negatiivisia:

Seuraavassa kuvassa on kaksi kulmaa, jotka ovat absoluuttisesti samat, mutta etumerkillisesti vastakkaiset:

Yleisesti ottaen sääntö voidaan muotoilla näin:

• Menemme vastapäivään - saamme positiivisia kulmia
• Menemme myötäpäivään - saamme negatiiviset kulmat

Sääntö on esitetty kaavamaisesti tässä kuvassa:

Voit kysyä minulta täysin järkevän kysymyksen: no, tarvitsemme kulmia, jotta voimme mitata niiden sini-, kosini-, tangentti- ja kotangenttiarvot.

Onko siis eroa, milloin kulmamme on positiivinen ja milloin negatiivinen? Vastaan ​​sinulle: yleensä on.

Voit kuitenkin aina pienentää trigonometrisen funktion laskennan negatiivisesta kulmasta kulman funktion laskemiseen. positiivinen.

Katso seuraavaa kuvaa:

Rakensin kaksi kulmaa, ne ovat itseisarvoltaan yhtä suuret, mutta niillä on päinvastainen etumerkki. Merkitse kunkin kulman sini ja kosini akseleille.

Mitä me näemme? Tässä on mitä:

• Sinit ovat kulmissa ja ovat vastakkaisessa etumerkissä! Sitten jos
• Kulmien kosinit ovat samat! Sitten jos
• Siitä lähtien:
• Siitä lähtien:

Siten voimme aina päästä eroon negatiivisesta merkistä minkä tahansa trigonometrisen funktion sisällä: joko yksinkertaisesti eliminoimalla se, kuten kosinin kanssa, tai asettamalla sen funktion eteen, kuten sinin, tangentin ja kotangentin kanssa.

Muista muuten funktion nimi, joka suoritetaan mille tahansa kelvolliselle arvolle: ?

Tällaista funktiota kutsutaan parittomaksi.

Mutta jos seuraava pitää paikkansa jollekin hyväksyttävälle: ? Tällöin funktiota kutsutaan parilliseksi.

Joten, sinä ja minä olemme juuri osoittaneet, että:

Siten, kuten ymmärrät, ei ole väliä, etsimmekö positiivisen vai negatiivisen kulman siniä: miinuksen käsitteleminen on hyvin yksinkertaista. Emme siis tarvitse taulukoita erikseen negatiivisia kulmia varten.

Toisaalta on hyväksyttävä, että olisi erittäin kätevää, kun tiedetään vain ensimmäisen neljänneksen kulmien trigonometriset funktiot, pystyä laskemaan samanlaisia ​​funktioita jäljellä oleville neljänneksille. Onko mahdollista tehdä tämä? Voit tietysti! Sinulla on ainakin kaksi tapaa: ensimmäinen on rakentaa kolmio ja soveltaa Pythagoraan lausetta (näin sinä ja minä löysimme trigonometristen funktioiden arvot ensimmäisen neljänneksen pääkulmille) ja toinen on muistaa ensimmäisen neljänneksen kulmien funktioiden arvot ja jokin yksinkertainen sääntö, jotta voidaan laskea trigonometriset funktiot kaikille muille neljänneksille. Toinen menetelmä säästää sinua monilta hälyltä kolmioiden ja Pythagoraan kanssa, joten pidän sitä lupaavampana:

Joten tätä menetelmää (tai sääntöä) kutsutaan pelkistyskaavoiksi.

Vähennyskaavat

Karkeasti ottaen nämä kaavat auttavat sinua olemaan muistamatta tätä taulukkoa (muuten, se sisältää 98 numeroa!):

jos muistat tämän (vain 20 numeroa):

Eli et voi vaivautua täysin tarpeettomilla 78 numeroilla! Meidän on esimerkiksi laskettava. On selvää, että näin ei ole pienessä taulukossa. Mitä me teemme? Tässä on mitä:

Ensin tarvitsemme seuraavat tiedot:

1. Sinillä ja kosinilla on jakso (asteet).

   Tangentilla (kotangentilla) on jakso (asteita)

   Mikä tahansa kokonaisluku

2. Sini ja tangentti ovat parittomia funktioita ja kosini parillisia funktioita:

Olemme jo todistaneet ensimmäisen väitteen kanssasi, ja toisen pätevyys todettiin melko hiljattain.

Varsinainen valusääntö näyttää tältä:

1. Jos laskemme trigonometrisen funktion arvon negatiivisesta kulmasta, teemme siitä positiivisen käyttämällä kaavaryhmää (2). Esimerkiksi:
2. Hylkäämme sen jaksot sinille ja kosinille: (asteina) ja tangentille - (asteina). Esimerkiksi:
3. Jos jäljellä oleva "kulma" on alle astetta, ongelma on ratkaistu: etsimme sitä "pienestä taulukosta".
4. Muuten etsimme, millä kortilla nurkkamme sijaitsee: se on 2., 3. vai 4. neljännes. Katsotaanpa vaaditun funktion etumerkkiä kvadrantissa. Muista tämä merkki!!!
5. Esitämme kulman jollakin seuraavista muodoista:

   (jos toisella neljänneksellä)
   (jos toisella neljänneksellä)
   (jos kolmannella neljänneksellä)
   (jos kolmannella neljänneksellä)
   
   (jos neljännellä vuosineljänneksellä)

   niin, että jäljellä oleva kulma on suurempi kuin nolla ja pienempi kuin astetta. Esimerkiksi:

   Periaatteessa ei ole väliä, missä kahdesta vaihtoehtoisesta muodosta kullekin neljännekselle edustat kulmaa. Tämä ei vaikuta lopputulokseen.

6. Katsotaan nyt, mitä saimme: jos valitsit kirjoittaa asteina tai asteina plus miinus jotain, niin funktion etumerkki ei muutu: poistat tai ja kirjoitat jäljellä olevan kulman sini, kosini tai tangentti. Jos valitsit merkinnän in tai asteet, muuta sini kosiniksi, kosini siniksi, tangentti kotangentiksi, kotangentti tangentiksi.
7. Laitamme pisteen 4 merkin tuloksena olevan lausekkeen eteen.

Esitetään kaikki edellä mainitut esimerkein:

1. Laskea
2. Laskea
3. Löydä merkityksesi:

Aloitetaan järjestyksessä:

1. Toimimme algoritmimme mukaan. Valitse kokonaislukumäärä ympyröitä:

   Yleensä päätämme, että koko kulma sopii 5 kertaa, mutta kuinka paljon on jäljellä? Vasen. Sitten

   No, olemme hylänneet ylimääräisen. Katsotaanpa nyt merkkiä. sijaitsee neljännellä neljänneksellä. Neljännen neljänneksen sinissä on miinusmerkki, enkä saa unohtaa laittaa sitä vastaukseen. Seuraavaksi esitämme jommankumman vähennyssääntöjen 5 kohdan kaavasta. Minä valitsen:

   Katsotaan nyt mitä tapahtui: meillä on tapaus, jossa on asteet, sitten hylkäämme sen ja muutamme sinin kosiniksi. Ja sen eteen laitoimme miinusmerkin!

   astetta - kulma ensimmäisellä neljänneksellä. Tiedämme (lupasit minulle oppia pienen pöydän!!) sen merkityksen:

   Sitten saamme lopullisen vastauksen:

   Vastaus:

2. kaikki on sama, mutta asteiden sijaan - radiaaneja. Se on okei. Tärkeintä on muistaa se

   Mutta sinun ei tarvitse korvata radiaaneja asteilla. Se on makuasia. En muuta mitään. Aloitan uudelleen hylkäämällä kokonaiset piirit:

   Hylätään - nämä ovat kaksi kokonaista ympyrää. Jäljelle jää vain laskeminen. Tämä kulma on kolmannella neljänneksellä. Kolmannen vuosineljänneksen kosini on negatiivinen. Muista laittaa miinusmerkki vastaukseen. voit kuvitella kuinka. Muistakaamme sääntö uudelleen: meillä on "kokonaisluvun" tapaus (tai), silloin funktio ei muutu:

   Sitten.
   Vastaus:.

3. . Sinun on tehtävä sama asia, mutta kahdella toiminnolla. Puhun hieman lyhyemmin: ja asteet - toisen neljänneksen kulmat. Toisen neljänneksen kosinissa on miinusmerkki ja sinissä plusmerkki. voidaan esittää seuraavasti: , ja miten sitten

   Molemmat tapaukset ovat "puolet kokonaisuudesta". Sitten sini muuttuu kosiniksi ja kosini muuttuu siniksi. Lisäksi kosinin edessä on miinusmerkki:

Vastaus:.

Harjoittele nyt itse seuraavien esimerkkien avulla:

Ja tässä ratkaisut:

1. 
   Ensin päästään eroon miinuksesta asettamalla se sinin eteen (koska sini on pariton funktio!!!). Katsotaan seuraavaksi kulmia:

   Hylkäämme kokonaislukumäärän ympyröitä - eli kolme ympyrää ().
   Vielä on laskettava: .
   Teemme saman toisen kulman kanssa:

   Poistamme kokonaislukumäärän piirejä - 3 ympyrää () ja sitten:

   Nyt ajattelemme: millä neljänneksellä jäljellä oleva kulma on? Hän "jää alle" kaikesta. Mikä neljännes sitten on? Neljäs. Mikä on neljännen neljänneksen kosinin merkki? Positiivista. Nyt kuvitellaan. Koska vähennämme kokonaisesta suuresta, emme muuta kosinin etumerkkiä:

   Korvaamme kaikki saadut tiedot kaavaan:

   Vastaus:.

2. 
   Vakio: poista miinus kosinista käyttämällä sitä tosiasiaa.
   Jäljelle jää vain asteiden kosini laskeminen. Poistetaan kokonaiset piirit: . Sitten

   Sitten.
   Vastaus:.

3. Jatketaan kuten edellisessä esimerkissä.

   Koska muistat, että tangentin jakso on (tai) toisin kuin kosini tai sini, jolle se on 2 kertaa suurempi, poistamme kokonaislukumäärän.

   astetta - kulma toisella neljänneksellä. Toisen neljänneksen tangentti on negatiivinen, joten älkäämme unohtako lopun "miinusta"! voidaan kirjoittaa nimellä. Tangentti muuttuu kotangentiksi. Lopulta saamme:

   Sitten.
   Vastaus:.

No nyt on vähän jäljellä!

Tangenttiakseli ja kotangenttiakseli

Viimeinen asia, johon haluaisin tässä viitata, on kaksi lisäakselia. Kuten jo keskustelimme, meillä on kaksi akselia:

1. Axis - kosiniakseli
2. Axis - sinien akseli

Itse asiassa koordinaattiakselit ovat loppuneet, eikö niin? Mutta entä tangentit ja kotangentit?

Eikö niille todellakaan ole graafista tulkintaa?

Itse asiassa se on olemassa, näet sen tästä kuvasta:

Erityisesti näistä kuvista voimme sanoa tämän:

1. Tangentilla ja kotangentilla on samat neljännesmerkit
2. Ne ovat positiivisia ensimmäisellä ja kolmannella neljänneksellä
3. Ne ovat negatiivisia toisella ja neljännellä neljänneksellä
4. Tangenttia ei ole määritelty kulmissa
5. Kotangenttia ei ole määritelty kulmissa

Mitä muuta varten nämä kuvat ovat? Opit edistyneellä tasolla, jossa kerron kuinka voit käyttää trigonometristä ympyrää trigonometristen yhtälöiden ratkaisujen yksinkertaistamiseen!

EDISTYNYT TASO

Tässä artikkelissa kerron kuinka yksikköympyrä (trigonometrinen ympyrä) voi olla hyödyllinen trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa.

Voin ajatella kahta tapausta, joissa siitä voi olla hyötyä:

1. Vastauksessa emme saa "kaunista" kulmaa, mutta siitä huolimatta meidän on valittava juuret
2. Vastaus sisältää liian monta juurisarjaa

Et tarvitse muuta erityistietoa kuin aiheen tuntemuksen:

Yritin kirjoittaa aiheen "trigonometriset yhtälöt" turvautumatta ympyröihin. Monet eivät kehuisi minua tällaisesta lähestymistavasta.

Mutta pidän parempana kaavasta, joten mitä voin tehdä? Joissakin tapauksissa kaavoja ei kuitenkaan ole tarpeeksi. Seuraava esimerkki motivoi minua kirjoittamaan tämän artikkelin:

Ratkaise yhtälö:

No sitten. Itse yhtälön ratkaiseminen ei ole vaikeaa.

Käänteinen vaihto:

Tästä syystä alkuperäinen yhtälömme vastaa jopa neljää yksinkertaista yhtälöä! Pitääkö meidän todella kirjoittaa ylös 4 juurisarjaa:

Periaatteessa voisimme lopettaa tähän. Mutta ei tämän artikkelin lukijoille, jotka väittävät olevansa jonkinlainen "monimutkaisuus"!

Katsotaanpa ensin juurten ensimmäistä sarjaa. Joten otamme yksikköympyrän, sovelletaan nyt näitä juuria ympyrään (erikseen ja varten):

Kiinnitä huomiota: mikä kulma on kulmien ja? Tämä on kulma. Tehdään nyt sama sarjalle: .

Yhtälön juurien välinen kulma on jälleen . Yhdistetään nyt nämä kaksi kuvaa:

Mitä me näemme? Muuten kaikki juurimme väliset kulmat ovat yhtä suuret. Mitä se tarkoittaa?

Jos aloitamme kulmasta ja otamme yhtä suuret kulmat (millä tahansa kokonaisluvulla), päädymme aina johonkin ylemmän ympyrän neljästä pisteestä! Siten 2 sarjaa juuria:

Voidaan yhdistää yhdeksi:

Valitettavasti juurisarjalle:

Nämä väitteet eivät ole enää päteviä. Tee piirros ja ymmärrä miksi näin on. Ne voidaan kuitenkin yhdistää seuraavasti:

Sitten alkuperäisellä yhtälöllä on juuret:

Mikä on melko lyhyt ja ytimekäs vastaus. Mitä lyhyys ja ytimekkyys tarkoittaa? Tietoja matemaattisen lukutaitosi tasosta.

Tämä oli ensimmäinen esimerkki, jossa trigonometrisen ympyrän käyttö tuotti hyödyllisiä tuloksia.

Toinen esimerkki ovat yhtälöt, joilla on "rumat juuret".

Esimerkiksi:

1. Ratkaise yhtälö.
2. Etsi sen aukkoon kuuluvat juuret.

Ensimmäinen osa ei ole ollenkaan vaikea.

Koska aihe on sinulle jo tuttu, sallin itseni olla lyhyt lausunnossani.

sitten tai

Näin löysimme yhtälömme juuret. Ei mitään monimutkaista.

Tehtävän toista osaa on vaikeampi ratkaista tietämättä tarkalleen mikä on miinus 1/4 -kosini (tämä ei ole taulukon arvo).

Voimme kuitenkin kuvata löydetyn juurisarjan yksikköympyrästä:

Mitä me näemme? Ensinnäkin kuvio teki meille selväksi, missä rajoissa kaarikossini on:

Tämä visuaalinen tulkinta auttaa meitä löytämään segmenttiin kuuluvat juuret: .

Ensin numero itse putoaa siihen, sitten (katso kuva).

kuuluu myös segmenttiin.

Siten yksikköympyrä auttaa määrittämään, mihin "rumat" kulmat putoavat.

Sinulla pitäisi olla vielä ainakin yksi kysymys: Mutta mitä meidän pitäisi tehdä tangenttien ja kotangenttien kanssa?

Itse asiassa niillä on myös omat kirveensä, vaikka niillä on hieman erityinen ulkonäkö:

Muuten tapa käsitellä niitä on sama kuin sinin ja kosinin kanssa.

Esimerkki

Yhtälö on annettu.

• Ratkaise tämä yhtälö.
• Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin.

Ratkaisu:

Piirrämme yksikköympyrän ja merkitsemme siihen ratkaisumme:

Kuvasta voit ymmärtää, että:

Tai vielä enemmän: siitä lähtien

Sitten löydämme segmenttiin kuuluvat juuret.

, (koska)

Jätän sinun varmistaa itsellesi, ettei yhtälöllämme ole muita väliin kuuluvia juuria.

YHTEENVETO JA PERUSKAAVAT

Trigonometrian tärkein työkalu on trigonometrinen ympyrä, sen avulla voit mitata kulmia, löytää niiden sinit, kosinit jne.

Kulmien mittaamiseen on kaksi tapaa.

1. Asteiden kautta
2. Radiaanien kautta

Ja päinvastoin: radiaaneista asteisiin:

Kulman sinin ja kosinin löytämiseksi tarvitset:

1. Piirrä yksikköympyrä, jonka keskipiste on sama kuin kulman kärki.
2. Etsi tämän kulman ja ympyrän leikkauspiste.
3. Sen "X"-koordinaatti on halutun kulman kosini.
4. Sen "peli"-koordinaatti on halutun kulman sini.

Vähennyskaavat

Nämä ovat kaavoja, joiden avulla voit yksinkertaistaa trigonometrisen funktion monimutkaisia ​​lausekkeita.

Nämä kaavat auttavat sinua olemaan muistamatta tätä taulukkoa:

Yhteenveto

Opit tekemään universaalin kannun trigonometrian avulla.

Olet oppinut ratkaisemaan ongelmia paljon helpommin ja nopeammin ja mikä tärkeintä, ilman virheitä.

Tajusit, että sinun ei tarvitse ahtautua yhtään pöytiä etkä tarvitse ahtaaa yhtään mitään!

Nyt haluan kuulla sinua!

Ymmärsitkö tämän monimutkaisen aiheen?

Mitä pidit? Mistä et pitänyt?

Ehkä löysit virheen?

Kirjoita kommentteihin!

Ja onnea kokeeseen!

Ymmärretään ensin ympyrän ja ympyrän välinen ero. Tämän eron näkemiseksi riittää, kun tarkastellaan, mitkä molemmat luvut ovat. Nämä ovat ääretön määrä tasossa olevia pisteitä, jotka sijaitsevat yhtä etäisyydellä yhdestä keskipisteestä. Mutta jos ympyrä koostuu myös sisäisestä avaruudesta, se ei kuulu ympyrään. Osoittautuu, että ympyrä on sekä ympyrä, joka rajoittaa sitä (ympyrä(r)) että lukematon määrä pisteitä, jotka ovat ympyrän sisällä.

Ympyrässä olevalle pisteelle L pätee yhtäläisyys OL=R. (Janan OL pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde).

Jana, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä, on sen sointu.

Suoraan ympyrän keskipisteen läpi kulkeva sointu on halkaisija tämä ympyrä (D). Halkaisija voidaan laskea kaavalla: D=2R

Ympärysmitta lasketaan kaavalla: C=2\pi R

Ympyrän alue: S=\pi R^(2)

Ympyrän kaari kutsutaan sitä osaa siitä, joka sijaitsee sen kahden pisteen välissä. Nämä kaksi pistettä määrittelevät kaksi ympyrän kaarta. Sointu-CD:ssä on kaksi kaarta: CMD ja CLD. Identtiset sointeet muodostavat yhtäläiset kaaret.

Keskikulma Kulmaa, joka on kahden säteen välissä, kutsutaan.

Kaaren pituus löytyy kaavalla:

1. Käyttämällä tutkintomittaria: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Radiaanimitan käyttäminen: CD = \alpha R

Halkaisija, joka on kohtisuorassa jänteeseen nähden, jakaa jänteen ja sen supistamat kaaret puoliksi.

Jos ympyrän jänteet AB ja CD leikkaavat pisteessä N, niin pisteen N erottamien jänteiden segmenttien tulot ovat keskenään yhtä suuret.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangentti ympyrää

Tangentti ympyrää On tapana kutsua suoraa, jolla on yksi yhteinen piste ympyrän kanssa.

Jos suoralla on kaksi yhteistä pistettä, sitä kutsutaan sekantti.

Jos piirrät säteen tangenttipisteeseen, se on kohtisuorassa ympyrän tangenttia vastaan.

Piirretään tästä pisteestä kaksi tangenttia ympyrään. Osoittautuu, että tangenttisegmentit ovat yhtä suuret toistensa kanssa ja ympyrän keskipiste sijaitsee kulman puolittajalla kärjen kanssa tässä kohdassa.

AC = CB

Piirretään nyt ympyrän tangentti ja sekantti pisteestämme. Saavutetaan, että tangenttisegmentin pituuden neliö on yhtä suuri kuin koko sekanttisegmentin ja sen ulkoosan tulo.

AC^(2) = CD \cdot BC

Voimme päätellä: ensimmäisen sekantin kokonaisen segmentin ja sen ulkoisen osan tulo on yhtä suuri kuin toisen sekantin ja sen ulkoisen osan kokonaisen segmentin tulo.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Kulmat ympyrässä

Keskikulman ja sen kaaren astemitat ovat yhtä suuret.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Kirjattu kulma on kulma, jonka kärki on ympyrällä ja jonka sivuilla on jänteitä.

Voit laskea sen tuntemalla kaaren koon, koska se on puolet tästä kaaresta.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Perustuu halkaisijaan, sisäänkirjoitettuun kulmaan, oikeaan kulmaan.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Piirretyt kulmat, jotka muodostavat saman kaaren, ovat identtiset.

Yhdelle jänteelle lepäävät sisäänkirjoitetut kulmat ovat identtisiä tai niiden summa on 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Samalla ympyrällä ovat kolmioiden kärjet, joilla on samat kulmat ja määrätty kanta.

Kulma, jonka kärki on ympyrän sisällä ja joka sijaitsee kahden jänteen välissä, on identtinen puolet ympyrän kaarien kulma-arvojen summasta, jotka sisältyvät annettuihin ja pystysuoraan kulmaan.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \oikea)

Kulma, jonka kärki on ympyrän ulkopuolella ja sijaitsee kahden sekantin välissä, on identtinen puoleen kulman sisällä olevien ympyrän kaarien kulma-arvojen erosta.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \oikea)

Kirjattu ympyrä

Kirjattu ympyrä on ympyrä, joka tangentti monikulmion sivuja.

Kohdassa, jossa monikulmion kulmien puolittajat leikkaavat, sen keskipiste sijaitsee.

Ympyrää ei voi kirjoittaa jokaiseen monikulmioon.

Monikulmion pinta-ala, jossa on piirretty ympyrä, löytyy kaavasta:

S = pr,

p on monikulmion puolikehä,

r on piirretyn ympyrän säde.

Tästä seuraa, että piirretyn ympyrän säde on yhtä suuri:

r = \frac(S)(p)

Vastakkaisten sivujen pituuksien summat ovat identtiset, jos ympyrä kirjoitetaan kuperaan nelikulmioon. Ja päinvastoin: ympyrä sopii kuperaan nelikulmioon, jos vastakkaisten sivujen pituuksien summat ovat identtiset.

AB + DC = AD + BC

On mahdollista piirtää ympyrä mihin tahansa kolmioon. Vain yksi ainoa. Kohdassa, jossa kuvion sisäkulmien puolittajat leikkaavat, tämän piirretyn ympyrän keskipiste on.

Piirretyn ympyrän säde lasketaan kaavalla:

r = \frac(S)(p) ,

missä p = \frac(a + b + c)(2)

Ympyrä

Jos ympyrä kulkee monikulmion jokaisen kärjen läpi, tällaista ympyrää kutsutaan yleensä kuvattu polygonista.

Tämän kuvion sivujen kohtisuorien puolittajien leikkauspisteessä on ympyrän keskipiste.

Säde voidaan löytää laskemalla se ympyrän säteeksi, joka on rajattu monikulmion minkä tahansa 3 kärjen määrittämän kolmion ympärille.

On seuraava ehto: ympyrä voidaan kuvata nelikulmion ympärillä vain, jos sen vastakkaisten kulmien summa on 180^( \circ) .

\kulma A + \kulma C = \kulma B + \kulma D = 180^ (\circ)

Minkä tahansa kolmion ympärillä voit kuvata ympyrän, ja vain yhtä. Tällaisen ympyrän keskipiste sijaitsee kohdassa, jossa kolmion sivujen kohtisuorat puolittajat leikkaavat.

Piirretyn ympyrän säde voidaan laskea kaavojen avulla:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c ovat kolmion sivujen pituudet,

S on kolmion pinta-ala.

Ptolemaioksen lause

Harkitse lopuksi Ptolemaioksen lausetta.

Ptolemaioksen lause sanoo, että diagonaalien tulo on identtinen syklisen nelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen summan kanssa.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

JA ympyrä- geometriset muodot liittyvät toisiinsa. rajalla on katkoviiva (käyrä) ympyrä,

Määritelmä. Ympyrä on suljettu käyrä, jonka jokainen piste on yhtä kaukana pisteestä, jota kutsutaan ympyrän keskipisteeksi.

Ympyrän rakentamiseksi valitaan mielivaltainen piste O, joka otetaan ympyrän keskipisteeksi ja piirretään kompassilla suljettu viiva.

Jos ympyrän keskipisteen piste O on kytketty mielivaltaisiin ympyrän pisteisiin, kaikki tuloksena olevat segmentit ovat keskenään yhtä suuria, ja tällaisia ​​​​segmenttejä kutsutaan säteiksi, lyhennetty latinalaisella pienellä tai isolla kirjaimella "er" ( r tai R). Voit piirtää ympyrään niin monta sädettä kuin ympyrän pituudessa on pisteitä.

Janaa, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä ja kulkee sen keskustan läpi, kutsutaan halkaisijaksi. Halkaisija koostuu kahdesta säteet, makaa samalla suoralla linjalla. Halkaisija on merkitty latinalaisella pienellä tai isolla kirjaimella "de" ( d tai D).

Sääntö. Halkaisija ympyrä on yhtä suuri kuin sen kaksi säteet.

d = 2r
D = 2R

Ympyrän ympärysmitta lasketaan kaavalla ja riippuu ympyrän säteestä (halkaisijasta). Kaava sisältää luvun ¶, joka osoittaa kuinka monta kertaa ympärysmitta on suurempi kuin sen halkaisija. Numerossa ¶ on ääretön määrä desimaaleja. Laskelmia varten otettiin ¶ = 3,14.

Ympyrän ympärysmitta on merkitty latinalaisella isolla kirjaimella "tse" ( C). Ympyrän ympärysmitta on verrannollinen sen halkaisijaan. Kaavat ympyrän kehän laskemiseksi sen säteen ja halkaisijan perusteella:

C = ¶d
C = 2¶r

• Esimerkkejä
• Annettu: d = 100 cm.
• Ympärysmitta: C=3,14*100cm=314cm
• Annettu: d = 25 mm.
• Ympärysmitta: C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm

Pyöreä sekantti ja ympyräkaari

Jokainen sekantti (suora) leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä ja jakaa sen kahdeksi kaareksi. Ympyrän kaaren koko riippuu keskipisteen ja sekantin välisestä etäisyydestä, ja se mitataan suljettua käyrää pitkin sekantin ja ympyrän leikkauspisteen ensimmäisestä pisteestä toiseen.

Arcs ympyrät jaetaan sekantti duuriin ja molliin, jos sekantti ei ole sama halkaisijan kanssa, ja kahteen yhtä suureen kaareen, jos sekantti kulkee ympyrän halkaisijaa pitkin.

Jos sekantti kulkee ympyrän keskipisteen läpi, sen jana, joka sijaitsee ympyrän leikkauspisteiden välissä, on ympyrän halkaisija tai ympyrän suurin jänne.

Mitä kauempana sekantti sijaitsee ympyrän keskipisteestä, sitä pienempi on ympyrän pienemmän kaaren astemitta ja sitä suurempi ympyrän suuremman kaaren aste, ja sekantin segmentti, ns. sointu, pienenee, kun sekantti siirtyy pois ympyrän keskustasta.

Määritelmä. Ympyrä on osa tasosta, joka sijaitsee ympyrän sisällä.

Ympyrän keskipiste, säde ja halkaisija ovat samanaikaisesti vastaavan ympyrän keskipiste, säde ja halkaisija.

Koska ympyrä on osa tasoa, yksi sen parametreista on pinta-ala.

Sääntö. Ympyrän pinta-ala ( S) on yhtä suuri kuin säteen ( r 2) numeroon ¶.

• Esimerkkejä
• Annettu: r = 100 cm
• Ympyrän pinta-ala:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Annettu: d = 50 mm
• Ympyrän pinta-ala:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1 963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Jos piirrät ympyrässä kaksi sädettä ympyrän eri pisteisiin, muodostuu ympyrän kaksi osaa, jotka ovat ns. aloilla. Jos piirrät jänteen ympyrään, kaaren ja jänteen välistä tason osaa kutsutaan ympyrän segmentti.

Ympärysmitta on tasossa olevien pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana kiinteästä pisteestä nimeltä keskusta.

Olkoon piste keskipiste ja piste
, on mielivaltainen piste ympyrässä. Sitten

missä R on nimeltään säde ympyrä tai laajennettu

Yhtälöä (4) kutsutaan kanoninen ympyrän yhtälö.

Kommentti. Jos yhtälössä (4) merkitsemme
,
ja jaa molemmat osat arvolla
, saamme yhtälön
. Että. ympyrä on erikoistapaus ellipsistä, jolla on samat puoliakselit.

7.1.3. Hyperbeli

Hyperbolia on geometrinen pisteen paikka tasossa, joille kullekin on kahden kiinteän pisteen etäisyyksien eron moduuli, ns. temppuja, on vakioarvo.

Antaa
, - keskittyy, etäisyys
,M on mielivaltainen hyperbelin piste. Sitten määritelmän mukaan meillä on

, (5)

Missä A– määritetty arvo.

Otetaan käyttöön koordinaattijärjestelmä alla kuvassa esitetyllä menetelmällä.

sitten relaatio (5) algebrallisten muunnosten ja irrationaalisuuden eliminoinnin jälkeen voidaan esittää seuraavasti:

(6)

jota kutsutaan hyperbelin kanoninen yhtälö. Tässä koordinaattijärjestelmässä ja määritetyssä yhtälössä (6) hyperbelin kuvaaja on muotoa:

Jos hyperboliyhtälöllä on muoto

(7)

sitten vastaavasti sen kaavio näyttää tältä:

Vaihtoehdot Ja kutsutaan puoliakseleiksi - pätevä, - selkeä. Parametri

(8)

nimeltään epäkeskisyys. Se luonnehtii hyperbolin muotoa.

Huomioikaa joitain hyperbelin ominaisuuksia.

1) Hyperbolalla on vähintään kaksi symmetria-akselia ja symmetriakeskus.

Todellakin, piste (0;0) missä tahansa hyperbolagraafin sijainnissa kanonisessa koordinaattijärjestelmässä, se on symmetrian keskipiste. Symmetria-akselien roolia ovat akselit VAI NIIN Ja OU.

2) Hyperbola leikkaa toisen symmetria-akselin kahdessa pisteessä, joita kutsutaanhuiput , hyperbola ei leikkaa toisen symmetria-akselin kanssa.

Ensimmäisessä kaaviossa hyperbolin (6) kärjet sijaitsevat akselilla VAI NIIN, nämä ovat pisteet
Ja
, toisessa kaaviossa (7) - akselilla OU,-Tämä
Ja
.

3) Hyperbolalla on asymptootteja eli suoria viivoja, joihin hyperbeli lähestyy rajattomasti., jos sitä pitkin liukuva piste menee äärettömään.

Hyperbolalle kanonisella yhtälöllä
asymptootit kuvataan yhtälöillä

Ja
. (9)

Yhtälön antamalle hyperbelille
asymptootit on annettu suorilla viivoilla

. (10)

Hyperboliset temput
(tai
varten
) sijaitsevat samalla akselilla kärkien kanssa. Tässä

. (11)

Hyperbolin optinen ominaisuus. Yhdestä hyperbolan kohdista tuleva säde kulkee käyrästä heijastuksensa jälkeen ikään kuin se olisi tullut ulos toisesta fokuksesta.

7.1.4. Paraabeli

Paraabeli on tasossa olevien pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana kiinteästä pisteestä, ns keskittyä, ja tämä rivi, jota kutsutaan johtajatar.

Anna sen olla suora l, - rehtori, - tarkennus ja etäisyys rehtorista s, ja kohta M, on paraabelin mielivaltainen piste. Sitten

Valitaan koordinaattijärjestelmä alla olevan kuvan mukaisesti.

.

Sitten paraabelin yhtälö saa muodon irrationaalisuuden poistamisen jälkeen

,
(12)

jota kutsutaan kanoninen paraabeliyhtälö. Tässä koordinaattijärjestelmässä ja määritellyssä yhtälössä (12) paraabelin kuvaaja on muotoa:

Löydetylle kanoniselle paraabeliyhtälölle suoraviivayhtälö

,
(13)

ja keskittyä pisteessä
.

Huomioikaa yksi ominaisuuksista.

Paraabelilla on yksi symmetria-akseli.

Yllä valitussa koordinaatistossa paraabelin symmetria-akseli on VAI NIIN.

Kommentti. 1. Jos tarkkuudella on koordinaatit
, ja suuntaviiva kuvataan yhtälöllä
, silloin paraabelin yhtälö saa muodon

. (14)

Jos tarkennus on sijoitettu akseliin 0v, yhtälö saa muodon

tai
, (15)

riippuen rehtorin sijainnista (
tai
, vastaavasti). Näitä yhtälöitä kutsutaan myös kanoninen. Huomattujen piirteiden avulla voidaan yksiselitteisesti määrittää paraabelin sijainti ja sen ominaispiirteet (tarkennuskoordinaatit, suuntayhtälö).

Optinenomaisuuttaparaabelit. Paraabelin akselin suuntaiset säteet kulkevat käyrältä heijastuksen jälkeen sen fokuksen läpi.