Mies

Kuinka laskea pyörivän kappaleen tilavuus. Pyörimällä muodostuvan kappaleen tilavuuden laskeminen. Kierroskappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla

Paitsi tasokuvan pinta-alan löytäminen määrätyn integraalin avulla (katso 7.2.3.) aiheen tärkein sovellus on pyörivän kappaleen tilavuuden laskeminen. Materiaali on yksinkertaista, mutta lukijan on oltava valmis: sinun on kyettävä ratkaisemaan määrittelemättömät integraalit keskikokoinen ja käytä Newton-Leibnizin kaavaa määrätty integraali, n Tarvitset myös vahvat piirustustaidot. Yleensä integraalilaskennassa on monia mielenkiintoisia sovelluksia; käyttämällä tarkkaa integraalia voit laskea kuvion alueen, kiertokappaleen tilavuuden, kaaren pituuden, kappaleen pinta-alan ja paljon enemmän. Kuvittele jokin tasainen kuvio koordinaattitasolla. Otettu käyttöön? ... Nyt tätä lukua voidaan myös kiertää ja kahdella tavalla:

– x-akselin ympäri ;

– ordinaatta-akselin ympäri .

Katsotaanpa molempia tapauksia. Toinen kiertotapa on erityisen mielenkiintoinen, se aiheuttaa eniten hankaluuksia, mutta itse asiassa ratkaisu on lähes sama kuin yleisemmässä x-akselin ympäri kiertämässä. Aloitetaan suosituimmasta kiertotyypistä.

Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu kiertämällä litteää hahmoa akselin ympäri HÄRKÄ

Esimerkki 1

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörittämällä viivojen rajaamaa kuvaa akselin ympäri.

Ratkaisu: Kuten alueen löytämisen ongelmassa, ratkaisu alkaa litteän hahmon piirtämisellä. Eli lentokoneessa XOY on tarpeen rakentaa kuvio, jota rajoittavat viivat, ja älä unohda, että yhtälö määrittää akselin. Piirustus tässä on melko yksinkertainen:

Haluttu litteä figuuri on varjostettu sinisellä, se on se, joka pyörii akselin ympäri. Pyörimisen seurauksena tuloksena on hieman munamainen lentävä lautanen, jonka akselilla on kaksi terävää huippua HÄRKÄ, symmetrinen akselin suhteen HÄRKÄ. Itse asiassa keholla on matemaattinen nimi, katso hakuteos.

Kuinka laskea kierroskappaleen tilavuus? Jos kappale muodostuu pyörimisen seurauksena akselin ympäriHÄRKÄ, se on henkisesti jaettu yhdensuuntaisiin kerroksiin, joiden paksuus on pieni dx, jotka ovat kohtisuorassa akseliin nähden HÄRKÄ. Koko kehon tilavuus on ilmeisesti yhtä suuri kuin tällaisten peruskerrosten tilavuuksien summa. Jokainen kerros, kuten pyöreä sitruunaviipale, on matala sylinteri dx ja pohjasäteellä f(x). Tällöin yhden kerroksen tilavuus on perusalueen π tulo f 2 per sylinterin korkeus ( dx), tai π∙ f 2 (x)∙dx. Ja koko kiertokappaleen pinta-ala on alkeistilavuuksien summa tai vastaava määrätty integraali. Kierroskappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla:

Valmiista piirroksesta voi helposti arvata kuinka integroinnin rajat "a" ja "be" asetetaan. Toiminto... mikä tämä toiminto on? Katsotaanpa piirustusta. Tasokuvaa rajoittaa yläreunassa olevan paraabelin kuvaaja. Tämä on funktio, joka sisältyy kaavaan. Käytännön tehtävissä litteä hahmo voi joskus sijaita akselin alapuolella HÄRKÄ. Tämä ei muuta mitään - kaavan funktio on neliö: f 2 (x), Täten, vallankumouskappaleen tilavuus on aina ei-negatiivinen, mikä on hyvin loogista. Lasketaan kiertokappaleen tilavuus tällä kaavalla:

Kuten olemme jo todenneet, integraali osoittautuu melkein aina yksinkertaiseksi, tärkeintä on olla varovainen.

Vastaus:

Vastauksessasi sinun on ilmoitettava mitat - kuutioyksiköt. Eli pyörimiskappaleessamme on noin 3,35 "kuutiota". Miksi kuutio yksiköitä? Koska tämä on yleisin muotoilu. Siellä voi olla kuutiosenttimiä, voi olla kuutiometrejä, voi olla kuutiokilometrejä jne., niin monta vihreää miestä mielikuvituksesi voi laittaa lentävään lautaseen.

Esimerkki 2

Etsi akselin ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus HÄRKÄ kuvio, jota rajoittavat viivat , , .

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Esimerkki 3

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä viivojen , , ja rajaamaa kuvaa abskissa-akselin ympäri.

Ratkaisu: Kuvataan piirustuksessa litteä kuvio, jota rajoittavat viivat , , , , unohtamatta, että yhtälö x= 0 määrittää akselin OY:

Haluttu hahmo on varjostettu sinisellä. Kun se pyörii akselin ympäri HÄRKÄ tuloksena on litteä, kulmikas donitsi (aluslevy, jossa on kaksi kartiomaista pintaa).

Lasketaan kierroskappaleen tilavuus as ero ruumiiden tilavuudessa. Katsotaanpa ensin punaisella ympyröityä kuvaa. Kun se pyörii akselin ympäri HÄRKÄ tuloksena on katkaistu kartio. Merkitään tämän katkaistun kartion tilavuutta arvolla V 1 .

Harkitse kuviota, joka on ympyröity vihreällä. Jos käännät tätä lukua akselin ympäri HÄRKÄ, niin saat saman katkaistun kartion, vain hieman pienemmän. Merkitään sen tilavuus arvolla V 2 .

On selvää, että volyymiero V = V 1 - V 2 on "donitsimme" tilavuus.

Käytämme vakiokaavaa kiertokappaleen tilavuuden selvittämiseen:

1) Punaisella ympyröityä lukua rajoittaa yläpuolella suora viiva, joten:

2) Vihreällä ympyröityä kuvaa rajoittaa yläpuolella suora viiva, joten:

3) Halutun kiertokappaleen tilavuus:

Vastaus:

On uteliasta, että tässä tapauksessa ratkaisu voidaan tarkistaa käyttämällä koulukaavaa katkaistun kartion tilavuuden laskemiseksi.

Päätös itsessään kirjoitetaan usein lyhyemmin, jotenkin näin:

Kierroskappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla:

Kaavassa luvun on oltava ennen integraalia. Niin se tapahtui - kaikki, mikä elämässä pyörii, liittyy tähän vakioon.

Minusta on helppo arvata, kuinka integroinnin "a" ja "be" rajat asetetaan valmiista piirroksesta.

Toiminto... mikä tämä toiminto on? Katsotaanpa piirustusta. Tasaista kuvaa rajoittaa yläreunassa oleva paraabelikuvaaja. Tämä on funktio, joka sisältyy kaavaan.

Käytännön tehtävissä litteä hahmo voi joskus sijaita akselin alapuolella. Tämä ei muuta mitään - kaavan integrandi on neliöity: näin integraali on aina ei-negatiivinen , mikä on hyvin loogista.

Lasketaan kiertokappaleen tilavuus tällä kaavalla:

Kuten jo totesin, integraali osoittautuu melkein aina yksinkertaiseksi, tärkeintä on olla varovainen.

Vastaus:

Vastauksessasi sinun on ilmoitettava mitat - kuutioyksiköt. Eli pyörimiskappaleessamme on noin 3,35 "kuutiota". Miksi kuutio yksiköitä? Koska yleisin muotoilu. Siellä voi olla kuutiosenttimiä, voi olla kuutiometrejä, voi olla kuutiokilometrejä jne., niin monta vihreää miestä mielikuvituksesi voi laittaa lentävään lautaseen.

Esimerkki 2

Etsi linjojen rajoittaman kuvion akselin ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus,

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Tarkastellaan kahta monimutkaisempaa ongelmaa, joita myös usein kohdataan käytännössä.

Esimerkki 3

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä kuvion abskissa-akselin ympäri, jota rajaavat viivat , ja

Ratkaisu: Kuvataan piirustuksessa litteä kuvio, jota rajoittavat viivat ,,,, unohtamatta, että yhtälö määrittelee akselin:

Haluttu hahmo on varjostettu sinisellä. Kun se pyörii akselinsa ympäri, se osoittautuu surrealistiseksi donitsiksi, jossa on neljä kulmaa.

Lasketaan kiertokappaleen tilavuus as ero ruumiiden tilavuudessa.

Katsotaanpa ensin punaisella ympyröityä kuvaa. Kun se pyörii akselin ympäri, saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämän katkaistun kartion tilavuutta arvolla.

Harkitse kuviota, joka on ympyröity vihreällä. Jos käännät tätä lukua akselin ympäri, saat myös katkaistun kartion, vain hieman pienemmän. Merkitään sen tilavuus arvolla.

Ja ilmeisestikin tilavuusero on täsmälleen "donitsimme" tilavuus.

Käytämme vakiokaavaa kiertokappaleen tilavuuden selvittämiseen:

1) Punaisella ympyröityä lukua rajoittaa yläpuolella suora viiva, joten:

2) Vihreällä ympyröityä kuvaa rajoittaa yläpuolella suora viiva, joten:

3) Halutun kiertokappaleen tilavuus:

Vastaus:

On uteliasta, että tässä tapauksessa ratkaisu voidaan tarkistaa käyttämällä koulukaavaa katkaistun kartion tilavuuden laskemiseksi.

Päätös itsessään kirjoitetaan usein lyhyemmin, jotenkin näin:

Pidetään nyt vähän lepoa ja kerrotaan geometrisista illuusioista.

Ihmisillä on usein illuusioita, jotka liittyvät volyymiin, jonka Perelman (toinen) huomasi kirjassa Viihdyttävä geometria. Katso litteää kuvaa ratkaistussa ongelmassa - se näyttää olevan pieni pinta-ala ja kierrosluvun tilavuus on hieman yli 50 kuutioyksikköä, mikä näyttää liian suurelta. Muuten, keskivertoihminen juo koko elämänsä aikana huoneen verran 18 neliömetriä nestettä, joka päinvastoin näyttää liian pieneltä.

Yleisesti ottaen koulutusjärjestelmä Neuvostoliitossa oli todella paras. Sama Perelmanin vuonna 1950 julkaistu kirja kehittää erittäin hyvin, kuten humoristi sanoi, ajattelua ja opettaa etsimään alkuperäisiä, epätyypillisiä ratkaisuja ongelmiin. Luin äskettäin uudelleen osan luvuista suurella mielenkiinnolla, suosittelen sitä, se on jopa humanistien saatavilla. Ei, sinun ei tarvitse hymyillä, että tarjosin vapaa-aikaa, eruditio ja laaja näköala kommunikaatiossa on hieno asia.

Lyyrisen poikkeaman jälkeen on vain sopivaa ratkaista luova tehtävä:

Esimerkki 4

Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu pyörimisestä akselin ympäri litteän kuvion, jota rajaavat viivat,, missä.

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Huomaa, että kaikki tapaukset esiintyvät kaistalla, toisin sanoen valmiit integraatiorajat on todella annettu. Piirrä trigonometristen funktioiden kaaviot oikein, haluan muistuttaa oppitunnin materiaalista graafien geometriset muunnokset : jos argumentti jaetaan kahdella: , kaavioita venytetään akselia pitkin kahdesti. On suositeltavaa löytää vähintään 3-4 pistettä trigonometristen taulukoiden mukaan täydentääksesi piirustuksen tarkemmin. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Muuten, tehtävä voidaan ratkaista järkevästi eikä kovin järkevästi.

Sylinteri on yksinkertainen geometrinen kappale, joka saadaan pyörittämällä suorakulmiota sen toisen sivun ympäri. Toinen määritelmä: sylinteri on geometrinen kappale, jota rajoittaa lieriömäinen pinta ja kaksi yhdensuuntaista tasoa, jotka leikkaavat sen.

sylinterin tilavuuskaava

Jos haluat tietää kuinka laskea sylinterin tilavuus, sinun tarvitsee vain löytää korkeus (h) ja säde (r) ja liittää ne kaavaan:

Jos tarkastelet tätä kaavaa tarkasti, huomaat, että (\pi r^2) on kaava ympyrän pinta-alalle ja meidän tapauksessamme pohjan pinta-alalle.

Siksi sylinterin tilavuuden kaava voidaan kirjoittaa pohjapinta-alan ja korkeuden perusteella:

Online-laskimemme auttaa sinua laskemaan sylinterin tilavuuden. Syötä vain sylinterin määritetyt parametrit ja hanki sen tilavuus.

sinun merkkisi

[Arviot: 168 Keskiarvo: 3,4]

Sylinterin kaavan tilavuus (perussäteen ja -korkeuden avulla)

(V=\pi r^2 h), missä

r on sylinterin pohjan säde,

h - sylinterin korkeus

Sylinterin kaavan tilavuus (perusalan ja korkeuden perusteella)

S on sylinterin pohjan pinta-ala,

h - sylinterin korkeus

Sylinterin tilavuuslaskin verkossa

Kuinka löytää vallankumouskappaleen tilavuus integraalin avulla

Käyttämällä määrättyä integraalia voit laskea paitsi tasohahmojen alueet, mutta myös kappaleiden tilavuudet, jotka muodostuvat näiden kuvioiden kiertymisestä koordinaattiakselien ympäri.

Kappale, joka muodostuu pyörimällä Ox-akselin ympäri kaarevaa puolisuunnikasta, jota ylhäältä rajoittaa funktion y= f(x) kuvaaja, on tilavuus

Vastaavasti kaarevalla kaavalla ilmaistaan kappaleen tilavuus v, joka saadaan pyörimällä kaarevan puolisuunnikkaan ordinaattisen akselin (Oy) ympäri

Tasokuvion pinta-alaa laskettaessa opimme, että joidenkin kuvioiden pinta-alat löytyvät kahden integraalin erotuksena, joissa integrandit ovat niitä funktioita, jotka rajoittavat kuviota ylhäältä ja alhaalta. Tilanne on samanlainen kuin joidenkin pyörimiskappaleiden kohdalla, joiden tilavuudet lasketaan kahden kappaleen tilavuuksien erotuksena; tällaisia tapauksia käsitellään esimerkeissä 3, 4 ja 5.

Esimerkki 1.

Etsi hyperbolin, abskissa-akselin ja viivojen , rajoittaman kuvion abskissa-akselin (Ox) ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus.

Ratkaisu. Löydämme kiertokappaleen tilavuuden kaavalla (1), jossa , ja integroinnin rajat a = 1, b = 4:

Esimerkki 2.

Laske pallon tilavuus, jonka säde on R.

Ratkaisu. Tarkastellaan palloa kappaleena, joka saadaan kiertämällä säteisen R puoliympyrän abskissa-akselin ympäri sen keskipisteen origossa. Sitten kaavassa (1) integrandifunktio kirjoitetaan muodossa , ja integroinnin rajat ovat -R ja R.

Eikö sinulla ole aikaa syventyä ratkaisuun?

Voit tilata työpaikan!

Esimerkki 3. Etsi paraabelien ja välissä olevan kuvan abskissa-akselin (Ox) ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus.

Kuvitellaan vaadittu tilavuus kappaleiden tilavuuksien erona, joka saadaan kiertämällä kaarevia puolisuunnikkaita ABCDE ja ABFDE abskissa-akselin ympäri. Löydämme näiden kappaleiden tilavuudet kaavalla (1), jossa integroinnin rajat ovat yhtä suuret ja ne ovat paraabelien leikkauspisteen pisteiden B ja D abskissoja. Nyt voimme löytää kehon tilavuuden:

Esimerkki 4.

Laske toruksen tilavuus (torus on kappale, joka saadaan kiertämällä sädettä a olevaa ympyrää akselinsa ympäri, joka sijaitsee sen tasossa etäisyydellä b ympyrän keskustasta ().

Esimerkiksi ohjauspyörä on toruksen muotoinen).

Ratkaisu. Anna ympyrän pyöriä Ox-akselin ympäri (kuva.

Kaavat geometristen kuvioiden alueille ja tilavuuksille

20). Toruksen tilavuus voidaan esittää kappaleiden tilavuuksien erona, joka saadaan pyörittämällä kaarevia puolisuunnikkaita ABCDE ja ABLDE Ox-akselin ympäri.

Ympyrän LBCD yhtälö on

ja BCD-käyrän yhtälö

ja BLD-käyrän yhtälö

Käyttämällä kappaleiden tilavuuksien välistä eroa saadaan lauseke toruksen tilavuudelle v

Esimerkki 5.

Etsi viivojen ja rajaaman kuvion ordinaattisen akselin (Oy) ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus.

Kuvitellaan tarvittava tilavuus kolmion OBA ja kaarevan puolisuunnikkaan OnBA ordinaatta-akselin ympäri kiertämällä saatujen kappaleiden tilavuuksien erotuksena.

Löydämme näiden kappaleiden tilavuudet kaavan (2) avulla. Integroinnin rajat ovat ja - paraabelin ja suoran leikkauspisteen O ja B ordinaatit.

Siten saamme kehon tilavuuden:

Sivun yläreunassa

Tee testi aiheesta Integraali

Aiheen "Integraal" alku

Epämääräinen integraali: peruskäsitteet, ominaisuudet, epämääräisten integraalien taulukko

Etsi epämääräinen integraali: alkuja, esimerkkejä ratkaisuista

Menetelmä muuttujan muuttamiseen määrittelemättömässä integraalissa

Integrointi summaamalla eromerkki

Integrointimenetelmä osien mukaan

Murtolukujen integrointi

Rationaalisten funktioiden integrointi ja määrittelemättömien kertoimien menetelmä

Joidenkin irrationaalisten funktioiden integrointi

Trigonometristen funktioiden integrointi

Varma integraali

Tasokuvan pinta-ala integraalilla

Väärät integraalit

Kaksoisintegraalien laskenta

Käyrän kaaren pituus integraalilla

Kierroksen pinta-ala integraalilla

Voiman työn määrittäminen integraalilla

Matematiikan paras sänky. Laadullinen. Ei mitään ylimääräistä.

Geometrisen hahmon tilavuus- kappaleen tai aineen käyttämän tilan määrällinen ominaisuus. Aluksen rungon tai säiliön tilavuus määräytyy sen muodon ja lineaaristen mittojen perusteella.

Kuution tilavuus

Kuution tilavuus yhtä suuri kuin hänen kasvojensa pituuden kuutio.

Formula kuutio

missä on kuution tilavuus,
- kuution pituus.

Prisman alue

Prisman alue yhtä suuri kuin prisman pohjan pinnan ja korkeuden tulo.

Prisman tilavuuskaava

missä on prisman aste,

- prisman pohja,

- prisman korkeus.

Suuntaissärmiöiden tilavuus

Suuntaissärmiöiden tilavuus yhtä suuri kuin pohjan pinnan tulo suhteessa korkeuteen.

Suuntasärmiön kaavan tilavuus

missä on suuntaissärmiöiden tilavuus,

- perusalue,

- korkeus korkeus.

Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön tilavuus tämä on sama kuin sen pituuden, leveyden ja korkeuden tulo.

Kaava suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön tilavuudelle

missä on suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön tilavuus,
- pituus,

-leveys

- korkeus.

Pyramidin tilavuus

Pyramidin tilavuus muodostaa kolmanneksen tuotteesta pohjapinta-alasta korkeudeltaan.

Pyramidin tilavuuden kaava

missä on pyramidin tilavuus,

- pyramidin pohjan pohja,

- pyramidin pituus.

Säännöllisen tetraedrin tilavuus

Kaava säännöllisen tetraedrin tilavuudelle

Kuten alueen löytämisen ongelmassa, tarvitset varmoja piirustustaitoja - tämä on melkein tärkein asia (koska integraalit ovat usein helppoja). Opetusmateriaalien ja kuvaajien geometristen muunnosten avulla voit hallita osaavia ja nopeita graafisia tekniikoita. Mutta itse asiassa olen puhunut piirustusten tärkeydestä jo useita kertoja luokassa.

Yleensä integraalilaskennassa on paljon mielenkiintoisia sovelluksia; käyttämällä tarkkaa integraalia voit laskea kuvion alueen, kierroskappaleen tilavuuden, kaaren pituuden, kierroksen pinta-alan ja paljon lisää. Joten siitä tulee hauskaa, pysy optimistisena!

Kuvittele jokin tasainen kuvio koordinaattitasolla. Otettu käyttöön? ... Ihmettelen kuka esitti mitä... =))) Olemme jo löytäneet sen alueen. Mutta lisäksi tätä lukua voidaan myös kiertää ja kiertää kahdella tavalla:

– abskissa-akselin ympärillä;
– ordinaatta-akselin ympäri.

Tässä artikkelissa tarkastellaan molempia tapauksia. Toinen kiertotapa on erityisen mielenkiintoinen, se aiheuttaa eniten hankaluuksia, mutta itse asiassa ratkaisu on lähes sama kuin yleisemmässä x-akselin ympäri kiertämässä. Bonuksena palaan ongelma hahmon alueen löytämisessä, ja kerron sinulle kuinka löytää alue toisella tavalla - akselia pitkin. Se ei ole niinkään bonus, vaan materiaali sopii hyvin aiheeseen.

Aloitetaan suosituimmasta kiertotyypistä.

litteä hahmo akselin ympäri

Esimerkki 1

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörittämällä viivojen rajaamaa kuvaa akselin ympäri.

Ratkaisu: Kuten alueen löytämisen ongelmassa, ratkaisu alkaa litteän hahmon piirtämisellä. Eli tasolle on tarpeen rakentaa viivojen rajoittama kuvio, äläkä unohda, että yhtälö määrittää akselin. Sivuilta löytyy ohjeet piirustuksen tekemiseen tehokkaammin ja nopeammin Alkeisfunktioiden kaaviot ja ominaisuudet Ja Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala. Tämä on kiinalainen muistutus, enkä tässä vaiheessa viivyttele enempää.

Piirustus tässä on melko yksinkertainen:

Haluttu litteä figuuri on varjostettu sinisellä, se on se, joka pyörii akselin ympäri, jolloin tuloksena on hieman munamainen lentävä lautanen, joka on symmetrinen akselin suhteen. Itse asiassa keholla on matemaattinen nimi, mutta olen liian laiska selventämään mitään hakuteoksesta, joten siirrymme eteenpäin.

Kuinka laskea kierroskappaleen tilavuus?

Kierroskappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla:

Kaavassa luvun on oltava ennen integraalia. Niin se tapahtui - kaikki, mikä elämässä pyörii, liittyy tähän vakioon.

Minusta on helppo arvata, kuinka integroinnin "a" ja "be" rajat asetetaan valmiista piirroksesta.

Toiminto... mikä tämä toiminto on? Katsotaanpa piirustusta. Tasokuvaa rajoittaa yläreunassa olevan paraabelin kuvaaja. Tämä on funktio, joka sisältyy kaavaan.

Käytännön tehtävissä litteä hahmo voi joskus sijaita akselin alapuolella. Tämä ei muuta mitään - kaavan integrandi on neliöity: , siis integraali on aina ei-negatiivinen, mikä on hyvin loogista.

Lasketaan kiertokappaleen tilavuus tällä kaavalla:

Kuten jo totesin, integraali osoittautuu melkein aina yksinkertaiseksi, tärkeintä on olla varovainen.

Vastaus:

Esimerkki 2

Etsi linjojen rajaaman kuvion akselin ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus , ,

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Tarkastellaan kahta monimutkaisempaa ongelmaa, joita myös usein kohdataan käytännössä.

Esimerkki 3

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä kuvion abskissa-akselin ympäri, jota rajoittavat viivat , ja

Ratkaisu: Kuvataan piirustuksessa litteä kuvio, jota rajoittavat viivat , , , , unohtamatta, että yhtälö määrittelee akselin:

Haluttu hahmo on varjostettu sinisellä. Kun se pyörii akselinsa ympäri, se osoittautuu surrealistiseksi donitsiksi, jossa on neljä kulmaa.

Lasketaan kierroskappaleen tilavuus as ero ruumiiden tilavuudessa.

Katsotaanpa ensin punaisella ympyröityä kuvaa. Kun se pyörii akselin ympäri, saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämän katkaistun kartion tilavuutta .

Harkitse kuviota, joka on ympyröity vihreällä. Jos käännät tätä lukua akselin ympäri, saat myös katkaistun kartion, vain hieman pienemmän. Merkitään sen tilavuus .

Ja ilmeisestikin tilavuusero on täsmälleen "donitsimme" tilavuus.

Käytämme vakiokaavaa kiertokappaleen tilavuuden selvittämiseen:

1) Punaisella ympyröityä lukua rajoittaa yläpuolella suora viiva, joten:

2) Vihreällä ympyröityä kuvaa rajoittaa yläpuolella suora viiva, joten:

3) Halutun kiertokappaleen tilavuus:

Vastaus:

On uteliasta, että tässä tapauksessa ratkaisu voidaan tarkistaa käyttämällä koulukaavaa katkaistun kartion tilavuuden laskemiseksi.

Päätös itsessään kirjoitetaan usein lyhyemmin, jotenkin näin:

Pidetään nyt vähän lepoa ja kerrotaan geometrisista illuusioista.

Lyyrisen poikkeaman jälkeen on vain sopivaa ratkaista luova tehtävä:

Esimerkki 4

Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu pyörimisestä akselin ympäri litteän kuvion rajaaman viivojen , , jossa .

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Huomaa, että kaikki tapaukset esiintyvät kaistalla, toisin sanoen valmiit integraatiorajat on todella annettu. Piirrä trigonometristen funktioiden kaaviot oikein, haluan muistuttaa oppitunnin materiaalista graafien geometriset muunnokset: jos argumentti jaetaan kahdella: , kaavioita venytetään kahdesti akselia pitkin. On suositeltavaa löytää vähintään 3-4 pistettä trigonometristen taulukoiden mukaan täydentääksesi piirustuksen tarkemmin. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Muuten, tehtävä voidaan ratkaista järkevästi eikä kovin järkevästi.

Pyörimällä muodostuvan kappaleen tilavuuden laskeminen
litteä hahmo akselin ympäri

Toinen kappale on vielä mielenkiintoisempi kuin ensimmäinen. Myös ordinaatta-akselin ympäri kiertävän kappaleen tilavuuden laskentatehtävä on melko yleinen vieras koetyössä. Matkan varrella sitä harkitaan ongelma hahmon alueen löytämisessä toinen menetelmä on integrointi akselia pitkin, jonka avulla voit paitsi parantaa taitojasi, myös opettaa sinua löytämään kannattavimman ratkaisupolun. Tässä on myös käytännön elämän tarkoitus! Kuten matematiikan opetusmenetelmien opettajani hymyillen muisteli, monet valmistuneet kiittivät häntä sanoilla: "Aineenne auttoi meitä paljon, nyt olemme tehokkaita johtajia ja johdamme henkilöstöä optimaalisesti." Käytän tätä tilaisuutta hyväkseni, ilmaisen hänelle myös suuren kiitokseni, varsinkin kun käytän hankittua tietoa aiottuun tarkoitukseen =).

Suosittelen sitä kaikille, jopa täydellisille nukkeille. Lisäksi toisessa kappaleessa opittu materiaali tarjoaa arvokasta apua kaksoisintegraalien laskemisessa.

Esimerkki 5

Koska litteä kuvio, jota rajoittavat viivat , , .

1) Etsi näiden viivojen rajaama tasaisen hahmon pinta-ala.
2) Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä näiden viivojen rajoittamaa litteää kuviota akselin ympäri.

Huomio! Vaikka haluat lukea vain toisen kohdan, ensin Välttämättä lue ensimmäinen!

Ratkaisu: Tehtävä koostuu kahdesta osasta. Aloitetaan neliöstä.

1) Tehdään piirustus:

On helppo nähdä, että funktio määrittää paraabelin ylähaaran ja funktio määrittää paraabelin alahaaran. Edessämme on triviaali paraabeli, joka "makaa kyljellään".

Haluttu hahmo, jonka alue on löydettävä, on varjostettu sinisellä.

Kuinka löytää hahmon pinta-ala? Se löytyy "tavanomaisella" tavalla, josta keskusteltiin luokassa Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala. Lisäksi kuvion pinta-ala löytyy alueiden summana:
- segmentillä ;
- segmentillä.

Siksi:

Miksi tavallinen ratkaisu on huono tässä tapauksessa? Ensinnäkin meillä on kaksi integraalia. Toiseksi integraalit ovat juuria, ja integraalien juuret eivät ole lahja, ja lisäksi voit hämmentyä integraation rajojen korvaamisessa. Itse asiassa integraalit eivät tietenkään ole tappavia, mutta käytännössä kaikki voi olla paljon surullisempaa, valitsin vain "paremmat" toiminnot ongelmaan.

On olemassa järkevämpi ratkaisu: se koostuu käänteisfunktioiden vaihtamisesta ja akselin suuntaisesta integroinnista.

Kuinka päästä käänteisfunktioihin? Karkeasti sanottuna sinun on ilmaistava "x" - "y". Katsotaanpa ensin paraabelia:

Tämä riittää, mutta varmistetaan, että sama funktio voidaan johtaa alemmasta haarasta:

Se on helpompaa suoralla viivalla:

Katso nyt akselia: kallista päätäsi säännöllisesti 90 astetta oikealle selittäessäsi (tämä ei ole vitsi!). Tarvittava luku sijaitsee segmentillä, joka on merkitty punaisella katkoviivalla. Tässä tapauksessa segmentillä suora sijaitsee paraabelin yläpuolella, mikä tarkoittaa, että kuvan pinta-ala tulisi löytää sinulle jo tutulla kaavalla: . Mikä kaavassa on muuttunut? Vain kirje eikä mitään muuta.

! Huomautus: Integroinnin rajat akselia pitkin tulee asettaa tiukasti alhaalta ylös!

Alueen löytäminen:

Segmentillä siis:

Huomaa, kuinka toteutin integroinnin, tämä on järkevin tapa, ja tehtävän seuraavassa kappaleessa selviää miksi.

Lukijoille, jotka epäilevät integroinnin oikeellisuutta, löydän johdannaisia:

Alkuperäinen integrandifunktio saadaan, mikä tarkoittaa, että integrointi suoritettiin oikein.

Vastaus:

2) Lasketaan kappaleen tilavuus, joka muodostuu tämän kuvion pyörimisestä akselin ympäri.

Piirrän piirustuksen uudelleen hieman eri malliin:

Joten sinisellä varjostettu kuva pyörii akselin ympäri. Tuloksena on "leikuva perhonen", joka pyörii akselinsa ympäri.

Pyörimiskappaleen tilavuuden löytämiseksi integroimme akselia pitkin. Ensin meidän on siirryttävä käänteisfunktioihin. Tämä on jo tehty ja kuvattu yksityiskohtaisesti edellisessä kappaleessa.

Nyt kallistamme päämme jälleen oikealle ja tutkimme vartaloamme. Ilmeisesti kiertokappaleen tilavuus tulisi löytää tilavuuksien erona.

Kierrämme punaisella ympyröityä kuvaa akselin ympäri, jolloin saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämä tilavuus .

Pyöritämme vihreällä ympyröityä kuvaa akselin ympäri ja merkitsemme sitä tuloksena olevan kiertokappaleen tilavuudella.

Perhosemme tilavuus on yhtä suuri kuin tilavuusero.

Käytämme kaavaa löytääksemme kierroskappaleen tilavuuden:

Mitä eroa on edellisen kappaleen kaavasta? Vain kirjeessä.

Mutta integraation etu, josta äskettäin puhuin, on paljon helpompi löytää , sen sijaan, että ensin nostettaisiin integrandi 4. potenssiin.

Vastaus:

Ei kuitenkaan sairas perhonen.

Huomaa, että jos samaa litteää hahmoa kierretään akselin ympäri, saat luonnollisesti täysin erilaisen kiertokappaleen, jolla on eri tilavuus.

Esimerkki 6

Annettu litteä kuvio, jota rajoittavat viivat ja akseli.

1) Siirry käänteisfunktioihin ja etsi näiden viivojen rajaama tasokuvan pinta-ala integroimalla muuttujan yli.
2) Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä näiden viivojen rajoittamaa litteää hahmoa akselin ympäri.

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Kiinnostuneet voivat myös löytää hahmon alueen "tavanomaisella" tavalla ja tarkistaa siten kohdan 1). Mutta jos, toistan, pyörität litteää hahmoa akselin ympäri, saat täysin erilaisen kiertokappaleen, jolla on eri tilavuus, muuten oikean vastauksen (myös niille, jotka haluavat ratkaista ongelmia).

Täydellinen ratkaisu tehtävän kahteen ehdotettuun kohtaan on oppitunnin lopussa.

Kyllä, ja älä unohda kallistaa päätäsi oikealle ymmärtääksesi pyörimisrungot ja integraation rajat!

Määritelmä 3. Kierroskappale on kappale, joka saadaan pyörittämällä litteää hahmoa akselin ympäri, joka ei leikkaa kuviota ja on sen kanssa samassa tasossa.

Pyörimisakseli voi leikata kuvion, jos se on kuvion symmetria-akseli.

Lause 2.
, akseli
ja suorat segmentit
Ja

pyörii akselin ympäri
. Sitten tuloksena olevan kiertokappaleen tilavuus voidaan laskea kaavan avulla

(2)

Todiste. Tällaiselle rungolle poikkileikkaus abskissalla on sädeympyrä
, tarkoittaa
ja kaava (1) antaa vaaditun tuloksen.

Jos luku on rajoitettu kahden jatkuvan funktion kuvaajilla
Ja
, ja viivasegmentit
Ja
, ja
Ja
, sitten x-akselin ympäri kiertämällä saadaan kappale, jonka tilavuus

Esimerkki 3. Laske toruksen tilavuus, joka saadaan kiertämällä ympyrän rajaamaa ympyrää

abskissa-akselin ympärillä.

R päätös. Osoitettua ympyrää rajoittaa alla funktion kaavio
ja ylhäältä -
. Näiden funktioiden neliöiden ero:

Vaadittu tilavuus

(integrandin kuvaaja on ylempi puoliympyrä, joten yllä kirjoitettu integraali on puoliympyrän pinta-ala).

Esimerkki 4. Parabolinen segmentti kantalla
, ja korkeus , pyörii alustan ympäri. Laske tuloksena olevan kappaleen tilavuus (Cavalierin "sitruuna").

R päätös. Asetamme paraabelin kuvan osoittamalla tavalla. Sitten sen yhtälö
, ja
. Etsitään parametrin arvo :
. Eli tarvittava tilavuus:

Lause 3. Olkoon jatkuvan ei-negatiivisen funktion kuvaaja rajoittama kaareva puolisuunnikkaan muoto
, akseli
ja suorat segmentit
Ja
, ja
, pyörii akselin ympäri
. Sitten tuloksena olevan kiertokappaleen tilavuus voidaan löytää kaavalla

(3)

Todistuksen idea. Jaamme segmentin
pisteitä

, osiin ja piirrä suoria viivoja
. Koko puolisuunnikas hajoaa nauhoiksi, joita voidaan pitää suunnilleen suorakulmioina, joissa on pohja
ja korkeus
.

Leikkaamme tuloksena olevan sylinterin kiertämällä tällaista suorakulmiota sen generatrixia pitkin ja avaamme sen. Saamme "melkein" suuntaissärmiön, jonka mitat:
,
Ja
. Sen tilavuus
. Joten vallankumouskappaleen tilavuudelle meillä on likimääräinen yhtäläisyys

Täydellisen tasa-arvon saavuttamiseksi on mentävä rajaan klo
. Yllä kirjoitettu summa on funktion kokonaissumma
, siksi rajassa saamme integraalin kaavasta (3). Lause on todistettu.

Huomautus 1. Lauseissa 2 ja 3 ehto
voidaan jättää pois: kaava (2) on yleensä epäherkkä merkille
, ja kaavassa (3) se riittää
korvattu
.

Esimerkki 5. Parabolinen segmentti (kanta
, korkeus ) pyörii korkeuden ympäri. Etsi tuloksena olevan kappaleen tilavuus.

Ratkaisu. Laitetaan paraabeli kuvan osoittamalla tavalla. Ja vaikka pyörimisakseli leikkaa kuvion, se - akseli - on symmetria-akseli. Siksi meidän on otettava huomioon vain segmentin oikea puoli. Paraabeliyhtälö
, ja
, tarkoittaa
. Volyymiksi meillä on:

Muistio 2. Jos kaarevan puolisuunnikkaan kaareva raja on annettu parametriyhtälöillä
,
,
Ja
,
sitten voit käyttää kaavoja (2) ja (3) korvauksen kanssa päällä
Ja
päällä
kun se muuttuu t alkaen
ennen .

Esimerkki 6. Kuvaa rajoittaa sykloidin ensimmäinen kaari
,
,
, ja x-akseli. Etsi kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä tätä kuvaa: 1) akselin ympäri
; 2) akselit
.

Ratkaisu. 1) Yleinen kaava
Meidän tapauksessamme:

2) Yleinen kaava
Figuurillemme:

Pyydämme opiskelijoita tekemään kaikki laskelmat itse.

Huomautus 3. Olkoon kaareva sektori, jota rajoittaa jatkuva viiva
ja säteet
,

, pyörii napa-akselin ympäri. Tuloksena olevan kappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla.

Esimerkki 7. Osa hahmosta, jota rajoittaa kardioidi
, makaa ympyrän ulkopuolella
, pyörii napa-akselin ympäri. Etsi tuloksena olevan kappaleen tilavuus.

Ratkaisu. Molemmat suorat ja siten niiden rajoittama luku ovat symmetrisiä napa-akselin suhteen. Siksi on otettava huomioon vain se osa, jota varten
. Käyrät leikkaavat pisteessä
Ja