Jäykän kappaleen painopiste. Menetelmät painopisteen löytämiseksi. Kiinteän kappaleen painopiste ja menetelmät sen sijainnin löytämiseksi Massan jakautuminen ihmiskehossa

Archimedesin ensimmäinen löytö mekaniikassa oli painopisteen käsitteen käyttöönotto, ts. todiste siitä, että missä tahansa kappaleessa on yksi piste, johon sen paino voidaan keskittyä häiritsemättä tasapainotilaa.

Kappaleen painopiste on kiinteän kappaleen piste, jonka läpi kaikkien tämän kappaleen alkuainemassoihin vaikuttavien gravitaatiovoimien resultantti kulkee missä tahansa avaruuden kohdassa.

Mekaanisen järjestelmän painopiste on piste, johon nähden järjestelmän kaikkiin kappaleisiin vaikuttava kokonaispainovoima on nolla.

Yksinkertaisesti sanottuna, painopiste- tämä on piste, johon painovoima kohdistuu, riippumatta kehon asennosta. Jos keho on homogeeninen, painopiste sijaitsee yleensä kehon geometrisessa keskustassa. Siten homogeenisen kuution tai homogeenisen pallon painopiste osuu yhteen näiden kappaleiden geometrisen keskipisteen kanssa.

Kehon painopisteen koordinaatit voidaan määrittää kaavoilla (kuva 7.1):

, , ,

Jossa – kehon paino x i, y i, z i– alkuainehiukkasen koordinaatit, paino P i;.

Kaavat kappaleen painopisteen koordinaattien määrittämiseksi ovat tarkkoja tarkalleen ottaen vain silloin, kun kappale on jaettu äärettömään määrään äärettömän pieniä painohiukkasia P i. Jos hiukkasten määrä, joihin keho on henkisesti jaettu, on äärellinen, niin yleensä nämä kaavat ovat likimääräisiä, koska koordinaatit x i, y i, z i tässä tapauksessa ne voidaan määrittää vain hiukkaskokojen tarkkuudella. Mitä pienempiä nämä hiukkaset ovat, sitä pienemmän virheen teemme laskettaessa painopisteen koordinaatteja. Tarkat lausekkeet voidaan saavuttaa vain rajan ylittämisen tuloksena, kun jokaisen hiukkasen koko pyrkii nollaan ja niiden lukumäärä kasvaa loputtomasti. Kuten tiedetään, tällaista rajaa kutsutaan määrätyksi integraaliksi. Siksi kappaleiden painopisteiden koordinaattien varsinainen määrittäminen yleensä edellyttää summien korvaamista niitä vastaavilla integraaleilla ja integraalilaskennan menetelmien käyttöä.

Jos massa kiinteän kappaleen tai mekaanisen järjestelmän sisällä jakautuu epätasaisesti, painopiste siirtyy siihen kohtaan, jossa se on raskaampaa.

Kehon painopiste ei välttämättä aina edes sijaitse kehon sisällä. Joten esimerkiksi bumerangin painopiste on jossain keskellä bumerangin päiden välissä, mutta itse bumerangin rungon ulkopuolella.

Kuormien kiinnittämisessä painopisteen sijainti on erittäin tärkeä. Tässä kohdassa kohdistetaan painovoimat ja inertiavoimat, jotka vaikuttavat kuormaan liikkeen aikana. Mitä korkeammalla rungon tai mekaanisen järjestelmän painopiste on, sitä alttiimpi se on kaatumaan.

Kehon painopiste on sama kuin massakeskipiste.

Valitaan alkeistilavuus dV=dx dy dz epähomogeenisessa kiinteässä aineessa (kuva 5.3). Valitun elementin paino on , jossa on ominaispaino kappaleen pisteessä, jossa on vastaavat koordinaatit.

Elementtien painot muodostavat sovellusakselin suuntaisen voimajärjestelmän. Tuloksena oleva moduuli

elementtipainoja kutsutaan paino jäykkä kappale, ja resultantin geometrinen sovelluspiste on painopiste kiinteä runko. Näiden suureiden laskemiseen käytämme kaavoja (5.1) ja (5.4) korvaamalla niissä summauksen integroinnilla tilavuuden yli, eli

Kaavan (5.8) osoittajassa olevaa määrää kutsutaan jäykän kappaleen painon staattiseksi momentiksi suhteessa koordinaattitasoon.

On selvää, että homogeeniselle kappaleelle kaava (5.8) saa muodon

Laskentakaavojen rakenne on samanlainen.

Tässä tapauksessa kiinteän kappaleen painopiste on sama kuin sen tilavuuden keskipiste.

Jos yksi kiinteän kappaleen mitoista on huomattavasti pienempi kuin kaksi muuta, kappaletta kutsutaan raskas pinta. Vakiopainolla pinta-alayksikköä kohti se on homogeeninen. Kaavat painopisteen painon ja koordinaattien laskemiseksi saadaan kohdista (5.7) – (5.9) korvaamalla tilavuuden integraalit pinnan yläpuolella olevilla integraaleilla. Joissakin tapauksissa pinta voi olla tasainen.

Jos kiinteän kappaleen kaksi ulottuvuutta ovat huomattavasti pienempiä kuin kolmas, kappaletta kutsutaan raskas linja. Vakiopainolla linjan pituusyksikköä kohti se on homogeeninen. Kaavat painopisteen painon ja koordinaattien laskemiseksi saadaan kohdista (5.7) – (5.9) korvaamalla tilavuusintegraalit kaarevilla integraaleilla. Joissakin tapauksissa viiva voi olla suora.

Jos homogeenisella kiinteällä kappaleella on symmetriataso, niin kappaleen painopiste sijaitsee tällä tasolla (alkupainovoimien staattisten momenttien summa suhteessa symmetriatasoon on nolla).

Jos homogeenisella kiinteällä kappaleella on kaksi symmetriatasoa, niin kappaleen painopiste kuuluu näiden tasojen leikkausviivaan.

Jos homogeenisella kiinteällä kappaleella on kolme symmetriatasoa, niin kappaleen painopiste sijaitsee niiden leikkauspisteessä.

Jos jäykkä kappale voidaan henkisesti jakaa elementeiksi, joiden painot ja painopisteiden sijainnit ovat tiedossa, niin jäykän kappaleen paino ja sen painopisteen sijainti voidaan laskea kaavoilla (5.1) ja (5.4). Esimerkiksi rakenteilla olevan laivan paino ja painopisteen koordinaatit lasketaan.

Jos rungossa on aukkoja, ne voidaan laskea negatiivisiksi painoelementeiksi.

Huomaa, että tekniikan viitekirjallisuudessa on melko suuri määrä homogeenisia elementtejä (tilavuus, litteä ja kaareva), joille lasketaan painopisteiden painot ja paikat. Alla oleva taulukko näyttää joitain niistä.

Joissain tilanteissa jäykän kappaleen painopisteen sijainti voidaan selvittää kokeen tuloksista. Esimerkiksi kun runko ripustetaan langan päälle, sen painopiste sijaitsee langan linjalla. Riputtamalla kehon toiseen pisteeseen, joka ei ole ensimmäisellä viivalla, löydämme kappaleen painopisteen sijainnin kahden suoran leikkauspisteenä. Toinen menetelmä, jota käytetään pidennettyjen kappaleiden painopisteen löytämiseen, on niin sanottu sijoittaminen "veitsille", joissa on samansuuntaiset terät. Kun ”veitset” kohtaavat, rungon painopiste pyrkii jäämään niiden väliin ja päätyy rajalla terien yhteensattumaviivalle.

Insinöörikäytännössä kappaleen painopisteen sijainnin määrittämiseen voidaan käyttää menetelmiä, jotka ovat laskennan ja kokeen yhdistelmä. Otetaan esimerkkinä kuvassa 5.4. esitetty laskelma lentokoneen painopisteen etäisyydestä sen etupyörästä.

Kuvassa: D on dynamometri, joka näyttää etupyörän normaalin painevoiman suuruuden, P on lentokoneen paino, on etäisyys etupyörästä takapyörien akseliin.

Ilmeisesti kiinnostuksen kohteena oleva etäisyys etupyörästä koneen painovoimalinjaan voidaan saada yhtälöstä, joka muodostaa voimien ja P:n summan takapyörien akselin ympärillä, kuten

Huomaa: jos lentokoneen painoa P ei tiedetä, niin siirtämällä dynamometriä D takapyörien alle saat normaalin painevoiman arvon. Sitten

Esimerkki 5.1. Jos kyseessä on homogeeninen levy, joka on pyöreän sektorin muotoinen ja jonka kärjessä on 2 asteen kulma (katso kuva 5.5), etsi levyn painopisteen sijainti.

Piirretään x-akseli siten, että se on kulman 2 puolittaja. Tällöin painopisteen ordinaatta on symmetrian vuoksi nolla, ts. .

Käyttämällä kahta sädettä, joiden välinen peruskulma on , valitsemme levyltä elementin, jonka pinta-ala on suunnilleen sama kuin tasakylkisen kolmion pinta-ala

Valitun kolmioelementin painopisteen abskissa on yhtä suuri kuin .

Nyt voimme muodostaa lausekkeen pyöreän sektorin painopisteen abskissan laskemiseksi

Huomaa: laskennassa on otettu huomioon, että homogeenisen litteän kappaleen painopisteellä on samat koordinaatit tasossa kuin vastaavan tasaisen kappaleen.

Esimerkki 5.2. Hae painopisteen sijainti monimutkaisen muodon ohuelle homogeeniselle levylle, jonka mitat on esitetty kuvassa 5.6.

Jaetaan levy henkisesti kolmeen elementtiin: suorakulmioon, kolmioon ja ympyrään. Jokaiselle elementille löydämme painopisteen alueen ja koordinaatit:

Sitten levylle painopisteen koordinaatit voidaan laskea kaavoilla:

Laskettaessa reikää käsiteltiin negatiivisen painon ympyrän kiinnityksenä.

Painopiste

geometrinen piste, joka liittyy poikkeuksetta kiinteään kappaleeseen, jonka läpi tämän kappaleen hiukkasiin vaikuttavien gravitaatiovoimien resultantti kulkee missä tahansa kappaleen kohdassa avaruudessa; se ei välttämättä ole yhdenmukainen jonkin tietyn kappaleen pisteen kanssa (esimerkiksi lähellä rengasta). Jos vapaa kappale ripustetaan kierteisiin, jotka on kiinnitetty peräkkäin rungon eri kohtiin, näiden lankojen suunnat leikkaavat rungon keskellä. Kiinteän kappaleen massakeskipisteen sijainti tasaisessa painovoimakentässä on sama kuin sen massakeskuksen sijainti (katso massakeskus). Kehon hajottaminen painoilla pk, jonka koordinaatit x k , y k , z k Niiden keskipisteet tunnetaan, voit löytää koko kehon keskipisteen koordinaatit kaavojen avulla:

Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. 1969-1978 .

Katso, mitä "painopiste" on muissa sanakirjoissa:

Mekaniikan massakeskus (hitauskeskus, barycenter) on geometrinen piste, joka kuvaa kappaleen tai hiukkasjärjestelmän liikettä kokonaisuutena. Sisältö 1 Määritelmä 2 Homogeenisten lukujen massakeskukset 3 Mekaniikassa ... Wikipedia

Piste, joka liittyy poikkeuksetta kiinteään kappaleeseen, jonka läpi tämän kappaleen hiukkasiin vaikuttavien gravitaatiovoimien resultantti kulkee missä tahansa kappaleen kohdassa avaruudessa. Homogeeniselle kappaleelle, jolla on symmetriakeskus (ympyrä, pallo, kuutio jne.),... ... Ensyklopedinen sanakirja

Geom. piste, joka liittyy poikkeuksetta kiinteään kappaleeseen, jonka kautta kaikkien kappaleen hiukkasiin vaikuttavien gravitaatiovoimien resultanttivoima kulkee sen läpi missä tahansa avaruuden kohdassa; se ei välttämättä ole yhdenmukainen tietyn kappaleen minkään pisteen kanssa (esimerkiksi kohdassa ... ... Fyysinen tietosanakirja

Piste, joka liittyy poikkeuksetta kiinteään kappaleeseen, jonka läpi tämän kappaleen hiukkasiin vaikuttavien gravitaatiovoimien resultantti kulkee missä tahansa kappaleen kohdassa avaruudessa. Homogeeniselle kappaleelle, jolla on symmetriakeskus (ympyrä, pallo, kuutio jne.),... ... Suuri Ensyklopedinen sanakirja

Painopiste- PAINONKESKUS, piste, jonka kautta kiinteän kappaleen hiukkasiin vaikuttavien painovoimavoimien resultantti kulkee missä tahansa kappaleen kohdassa avaruudessa. Homogeeniselle kappaleelle, jolla on symmetriakeskus (ympyrä, pallo, kuutio jne.), painopiste on ... Kuvitettu tietosanakirja

PAINONKESKUS, piste, johon kehon paino keskittyy ja jonka ympärille sen paino jakautuu ja tasapainottuu. Vapaasti putoava esine pyörii painopisteensä ympäri, joka vuorostaan ​​pyörii liikeradalla, jota kuvaisi piste... ... Tieteellinen ja tekninen tietosanakirja

painopiste- kiinteä runko; painopiste Kaikkiin kappaleisiin vaikuttavien painovoimavoimien keskipiste... Ammattikorkeakoulun terminologinen selittävä sanakirja

Centroid-sanakirja venäjän synonyymeistä. painopiste substantiivi, synonyymien lukumäärä: 12 pää (31) henki ... Synonyymien sanakirja

PAINOPISTE– Ihmiskeholla ei ole pysyvää anatomiaa. sijainti kehon sisällä ja liikkuu asennon muutoksista riippuen; sen ekskursiot suhteessa selkärankaan voivat olla 20-25 cm. Koko kehon keskushermoston asennon kokeellinen määritys... ... Suuri lääketieteellinen tietosanakirja

Kaikkien tietyn kappaleen muodostavien yksittäisten osien (osien) resultanttien painovoimien (painojen) sovelluspiste. Jos kappale on symmetrinen tasoon, suoraan tai pisteeseen nähden, niin ensimmäisessä tapauksessa painopiste sijaitsee symmetriatasossa, toisessa ... ... Tekninen rautatiesanakirja

painopiste- Kiinteän kappaleen geometrinen piste, jonka läpi kaikkien tämän kappaleen hiukkasiin vaikuttavien painovoimavoimien resultantti kulkee missä tahansa avaruuden kohdassa [Rakentamisen terminologinen sanakirja 12 kielellä (VNIIIS Gosstroy... ... Teknisen kääntäjän opas

Kirjat

• Painopiste, A.V. Polyarinovin romaani muistuttaa monimutkaista järvijärjestelmää. Se sisältää kyberpunkkia ja David Mitchellin, Borgesin ja David Foster Wallacen majesteettisia kuvioita... Mutta sen sankarit ovat nuoria toimittajia,...

Jos kiinteä kappale sijaitsee lähellä maan pintaa, painovoima kohdistuu tämän kappaleen jokaiseen materiaalipisteeseen. Lisäksi kehon mitat ovat niin pieniä verrattuna maan kokoon, että kaikkiin kehon hiukkasiin vaikuttavia gravitaatiovoimia voidaan pitää rinnakkaisina.

Keskusta (piste KANSSA) kutsutaan rinnakkaisten gravitaatiovoimien järjestelmää kehon kaikissa kohdissa jäykän kappaleen painopiste , ja kaikkien sen aineellisten pisteiden painovoimavoimien summaa kutsutaan painovoima , vaikuttaa häneen

Kiinteän kappaleen painopisteen koordinaatit määritetään seuraavilla kaavoilla:

missä ovat niihin vaikuttavien painovoimavoimien kohdistamispisteiden koordinaatit k aineellinen kohta.

Homogeeniselle vartalolle:

jossa V on koko kehon tilavuus;

V k- äänenvoimakkuus k-th hiukkasia.

Tasaisen ohuen levyn saamiseksi:

missä S on levyn pinta-ala;

S k – neliö k- voi osa lautasta.

Linjalle:

Jossa L- koko rivin pituus;

Lk- pituus k-linjan osa.

Menetelmät kappaleiden painopisteiden koordinaattien määrittämiseksi:

Teoreettinen

Symmetria. Jos homogeenisella kappaleella on taso, akseli tai symmetriakeskus, niin sen painopiste sijaitsee vastaavasti joko symmetriatasossa tai akselilla tai symmetriakeskipisteessä.

Halkaisu. Jos kappale voidaan jakaa äärelliseen määrään sellaisia ​​osia, joista jokaiselle tunnetaan painopisteen sijainti, niin koko kehon painopisteen koordinaatit voidaan laskea suoraan yllä olevien kaavojen avulla.

Lisäys. Tämä menetelmä on osiointimenetelmän erikoistapaus. Se koskee kappaleita, joissa on aukot, jos kappaleen painopisteet ilman leikkausta ja leikkausosa ovat tiedossa. Ne sisällytetään laskelmiin "-"-merkillä.

Integrointi. Kun kappaletta ei voida jakaa osiin, joiden painopisteet tunnetaan, käytetään integrointimenetelmää, joka on universaali.

Kokeellinen

Ripustusmenetelmä. Runko on ripustettu kahdesta tai kolmesta pisteestä vetäen niistä pystysuorat viivat. Niiden leikkauspiste on massakeskipiste.

Punnitusmenetelmä. Keho asetetaan vaa'alle eri osiin, mikä määrittää tukireaktiot. Laaditaan tasapainoyhtälöt, joista määritetään painopisteen koordinaatit.

Teoreettisten menetelmien avulla määrityskaavat painopisteen koordinaatit yleisin homogeeniset kappaleet:

Ympyrän kaari