Vjenčanje

Metrički prostori. Možete li što jednostavnijim riječima objasniti što je metrika prostor-vrijeme? Skup realnih brojeva kao metrički prostor

Modul 2.

Predavanje 17. Funkcija više varijabli

Odjeljak 17.1. n-dimenzionalni prostor

1. Višedimenzionalni prostori

2. Pojam udaljenosti (metrika). Metrički prostor

3. Načela klaster analize

Odjeljak 17.2 Funkcija višestrukih varijabli

1. Funkcija više varijabli

2. Parcijalne derivacije

3. Dvostruki integral

4. Polarne koordinate i Euler-Poissonov integral

Programske odredbe

U predavanju se raspravlja o temama vezanim uz prostore dimenzija većih od dva: uvođenje pojma udaljenosti, uporaba udaljenosti u klaster analizi, funkcija više (u našem slučaju dviju) varijabli, njezina karakterizacija pomoću parcijalnih derivacija, kao i kao proračuni površine i volumena. Trebat će nam koncepti funkcije dviju varijabli i dvostrukog integrala kada proučavamo slučajne vektore u teoriji vjerojatnosti. Gradivo predavanja završava izračunom Euler-Poissonovog integrala, jednog od glavnih u teoriji vjerojatnosti (neodređeni integral Gaussove funkcije je onaj koji se ne može uzeti, au slučaju granica integracije, izračun takvih integrala zahtijeva korištenje neočitih metoda, od kojih je jedna dana ovdje).

Prije učenja gradiva ponoviti definiciju funkcije, derivacije i integrala.

Književnost

B.P. Demidovich, V.A. Kudryavtsev “Kratki tečaj više matematike” Poglavlje XX (§1, 2.3,10), Poglavlje XXIV (§1, 2,3,4,7)

Pitanja za samokontrolu

1. Koji se prostor naziva n-dimenzionalnim?

2. Koje uvjete mora zadovoljiti udaljenost?

3. Koji se prostor naziva metričkim?

4. Čemu služi klaster analiza?

5. Što je graf funkcije 2 varijable? Što su linije razine?

6. Što je parcijalna derivacija?

7. Dajte definiciju dvostrukog integrala. Kako ga možete koristiti za izračunavanje površine i volumena?

8. Pronađite udaljenost između točaka A(1,2,3) i B(5,1,0) (koristeći različite udaljenosti)

9. Pronađite linije na razini funkcije

z = x + y.

10. Naći parcijalne derivacije funkcije

11. Pronađite područje figure ograničeno linijama

12. Izračunaj

Odjeljak 17.1. Pojam višedimenzionalnog prostora

Definicija 17.1.1. n-dimenzionalni prostor.

Ako je pravokutni koordinatni sustav fiksiran na ravnini R2, tada postoji korespondencija jedan na jedan između točaka ravnine i svih mogućih parova brojeva (x, y) (x i y su koordinate točaka) . Ako je sličan koordinatni sustav zadan u prostoru, tada također postoji korespondencija jedan na jedan između točaka prostora i njihovih koordinata - sve moguće trojke (x, y, z).

Udaljenost (metrički). Metrički prostor

Definicija 17.1.2

Metrički prostor ( M ,d) je skup točaka M, na čijem je kvadratu (to jest, za bilo koji par točaka iz M) dana funkcija udaljenosti (metrika). Definira se na sljedeći način:

Za bilo koje bodove x, g, z iz M ova funkcija mora zadovoljiti sljedeće uvjete:

Ovi aksiomi odražavaju intuitivni koncept udaljenosti. Na primjer, udaljenost mora biti nenegativna i udaljenost od x prije g isto kao iz g prije x. Nejednakost trokuta znači da ići od x prije z može biti kraća, ili barem ne duža od prve šetnje x prije g, a zatim od g prije z.

Nama najpoznatija je euklidska udaljenost. Međutim, ovo je daleko od jedinog načina postavljanja. Na primjer, sljedeća udaljenost će zadovoljiti gornje aksiome: d(x,y) = 1, Ako x ≠ y I d(x,y) = 0, Ako x = y.

Ovisno o specifičnim potrebama ili svojstvima prostora, mogu se uzeti u obzir različite metrike.

Pogledajmo nekoliko primjera udaljenosti:

Definicije 17.1.3.

Euklidska udaljenost.Čini se da je ovo najčešći tip udaljenosti. To je jednostavno geometrijska udaljenost u višedimenzionalnom prostoru i izračunava se na sljedeći način:

d(x,y) = (i (x i - y i) 2) 1/2

Imajte na umu da se euklidska udaljenost (i njezin kvadrat) izračunava iz izvornih podataka, a ne iz standardiziranih podataka. Ovo je uobičajeni način izračunavanja, koji ima određene prednosti (na primjer, udaljenost između dva objekta ne mijenja se kada se novi objekt uvede u analizu, što može biti outlier). Međutim, na udaljenosti mogu uvelike utjecati razlike između osi s kojih se udaljenosti izračunavaju. Na primjer, ako se jedna od osi mjeri u centimetrima, a zatim je pretvorite u milimetre (množenjem vrijednosti s 10), tada će se konačna euklidska udaljenost (ili kvadrat euklidske udaljenosti) izračunata iz koordinata promijeniti uvelike, pa se zbog toga rezultati klaster analize mogu uvelike razlikovati od prethodnih.

Euklidska udaljenost na kvadrat. Standardna euklidska udaljenost kvadrira se kako bi se dala veća težina objektima koji su udaljeniji. Ova udaljenost izračunava se na sljedeći način (ovo se odnosi i na napomenu o utjecaju mjernih jedinica iz prethodnog odlomka):

d(x,y) = i (x i - y i) 2

Udaljenost gradskih blokova (udaljenost Manhattana). Ova udaljenost je jednostavno prosjek razlika u koordinatama. U većini slučajeva ova mjera udaljenosti daje iste rezultate kao i obična euklidska udaljenost. Međutim, napominjemo da je za ovu mjeru utjecaj pojedinačnih velikih razlika (outliers) smanjen (budući da nisu kvadrirani). Udaljenost Manhattana izračunava se pomoću formule:

d(x,y) = i |x i - y i |

Čebiševljeva udaljenost. Ova udaljenost može biti korisna kada se dva objekta žele definirati kao "različita" ako se razlikuju u bilo kojoj koordinati (u bilo kojoj dimenziji). Čebiševljeva udaljenost izračunava se pomoću formule:

d(x,y) = max |x i - y i |

(max znači maksimum - najveća od svih vrijednosti modula razlike)

Udaljenost snage. Ponekad se želi progresivno povećati ili smanjiti težinu koja se odnosi na dimenziju za koju su odgovarajući objekti vrlo različiti. To se može postići korištenjem udaljenost snage. Udaljenost snage izračunava se pomoću formule:

d(x,y) = (i |x i - y i | p) 1/r

Gdje r I p- korisnički definirani parametri. Nekoliko primjera izračuna može pokazati kako ova mjera "radi". Parametar str je odgovoran za postupno vaganje razlika duž pojedinih koordinata, parametar r odgovoran za progresivno vaganje velikih udaljenosti između objekata. Ako su oba parametra r I str, jednaki dva, tada se ta udaljenost podudara s euklidskom udaljenošću.

Što je metrika? Čemu služi? Je li to fizičko polje?

Metrika je u naše vrijeme čvrsto povezana s teorijom gravitacije, zahvaljujući radovima Hilberta i Einsteina zajedno s Grossmanom. Međutim, u matematici je uveden mnogo prije toga. Ako se ne varam, među prvima koji su ga na ovaj ili onaj način eksplicitno upotrijebili bili su Riemann i Gauss. Prvo ćemo pokušati razumjeti njegovu ulogu u geometriji, a tek onda ćemo vidjeti kako je metrika postala glavna struktura OTO-a, Opće teorije relativnosti.

Danas postoji prilično detaljna i jasna definicija metričkih prostora prilično općenitog oblika:

Metrički prostor ("opremljen metrikom") u matematici je prostor u kojem je za bilo koje dvije njegove uređene točke (to jest, jedna od njih se naziva prva, a druga druga), realan broj definiran tako da je jednak nuli, ako i samo ako , kada se točke podudaraju i nejednakost "trokuta" je zadovoljena - za bilo koje tri točke (x,y,z) ovaj broj za bilo koji par (x,y) je jednaka ili manja od zbroja ovih brojeva za druga dva para, (x,z) i (y,z). Iz definicije također proizlazi da je taj broj nenegativan i da se ne mijenja (metrika je simetrična) kada se promijeni red točaka u paru.

Kao i obično, čim se nešto definira, ta definicija se proširuje i naziv se proširuje na druge, slične prostore. Tako je i ovdje. Na primjer, strogo formalno neće biti metrički prema gornjoj definiciji, jer u njima "metrički" broj, interval, može biti nula za dvije različite točke, a njegov kvadrat može biti i negativan realni broj. Međutim, oni su uključeni u obitelj metričkih prostora gotovo od samog početka, jednostavno uklanjanje odgovarajućeg zahtjeva u definiciji, proširenje definicije.

Osim toga, metrika se također može odrediti ne za sve točke u prostoru, već samo za one beskonačno bliske (lokalno). Takvi se prostori nazivaju Riemannovi, au svakodnevnom životu nazivaju se i metričkim. Štoviše, Upravo su Riemannovi prostori učinili metriku toliko poznatom i privlačeći pozornost i matematičara i fizičara, a poznatom čak i mnogim ljudima koji imaju malo veze s tim znanostima.

Naposljetku, ovdje ćemo raspravljati o metrici posebno u odnosu na Riemannove prostore, tj. u lokalnom smislu. Pa čak i lokalno signalno neodređeno.

Formalna matematička definicija i njezina proširenja rezultat su razumijevanja i pojašnjavanja koncepta metrike. Pogledajmo odakle je ovaj koncept izrastao i s kojim se svojstvima stvarnog svijeta izvorno povezivao.

Sva je geometrija proizašla iz onih koncepata koje je izvorno formalizirao Euklid. Kao i metrika. U euklidskoj geometriji (radi jednostavnosti i jasnoće govorit ćemo o dvodimenzionalnoj geometriji, a samim time i geometriji ravnine) postoji pojam udaljenosti između dviju točaka. Vrlo često, čak i sada, metrika se naziva udaljenost. Jer za euklidsku ravninu udaljenost je metrika, a metrika je udaljenost. I upravo je tako bilo zamišljeno na samom početku. Iako, kao što ću pokušati pokazati, ovo se odnosi na moderni koncept metrike samo u vrlo ograničenom smislu, uz mnoge rezerve i uvjete.

Udaljenost na euklidskoj ravnini (na komadu papira) izgleda krajnje jednostavna i očita stvar. Doista, pomoću ravnala možete povući ravnu liniju između bilo koje dvije točke i izmjeriti njezinu duljinu. Rezultirajući broj bit će udaljenost. Uzimajući treću točku, možete nacrtati trokut i uvjeriti se da ta udaljenost (za bilo koje dvije točke na ravnini) točno zadovoljava gornju definiciju. Zapravo, definicija je preslikana jedan na jedan iz svojstava euklidske udaljenosti u ravnini. A riječ "metrika" u početku je povezana s mjerenjem (pomoću metra), "metrizacijom" ravnine.

Zašto je bilo potrebno mjeriti udaljenosti, provoditi upravo tu metrizaciju ravnine? Pa, svatko vjerojatno ima svoju ideju o tome zašto se udaljenosti mjere u stvarnom životu. A u geometriji su stvarno počeli razmišljati o tome kada su uveli koordinate kako bi opisali svaku točku ravnine odvojeno i jedinstveno od drugih. Koordinatni sustav na ravnini očito će biti složeniji od udaljenosti između dviju točaka. Ovdje je i ishodište, i koordinatne osi, i udaljenosti (kako bez njih?) od ishodišta do projekcija točke na osi. Čini se jasnim zašto je potreban koordinatni sustav - to je kontinuirana mreža linija okomitih jedna na drugu (ako su koordinate kartezijanske), potpuno ispunjavajući ravninu i time rješavajući problem adresiranja bilo koje točke na njoj.

Ispada da je metrika udaljenost, a koordinate udaljenosti. Ima li razlike? Unesene koordinate. Zašto onda metrika? Razlika postoji, i to vrlo značajna. Izbor koordinatnih sustava podrazumijeva određenu slobodu. U kartezijanskim sustavima koristimo ravne linije kao osi. Ali možemo koristiti i krivulje? Limenka. I svakakvih krivudavih. Možemo li izmjeriti udaljenost duž takvih linija? Sigurno. Mjerenje udaljenosti, duljine duž crte nije povezano s tim kakva je linija. Zakrivljena staza također ima dužinu i na nju se mogu postaviti stupovi. Ali metrika u euklidskom prostoru nije proizvoljna udaljenost. Ovo je duljina ravne linije koja povezuje dvije točke. Ravno. I što je to? Koja linija je ravna, a koja zakrivljena? U školskim tečajevima ravne linije su aksiom. Vidimo ih i dobijemo ideju. Ali u općoj geometriji, ravne linije (to je samo po sebi naziv, oznaka, ništa više!) mogu se definirati kao neke posebne linije među svim mogućim koje spajaju dvije točke. Naime, kao najkraći, koji ima najkraću duljinu. (A u nekim slučajevima, za neke matematičke prostore, naprotiv, najduži, koji imaju najveću duljinu.) Čini se da smo shvatili razliku između metrike i proizvoljne udaljenosti između dviju točaka. Ne tako. Krenuli smo krivim putem. Da, tako je, ravne linije su najkraće u euklidskom prostoru. Ali metrika nije samo duljina najkraćeg puta. Ne. Ovo je njegovo sekundarno svojstvo. U euklidskom prostoru metrika nije samo udaljenost između dvije točke. Metrika je prije svega slika Pitagorine teoreme. Teorem koji vam omogućuje izračunavanje udaljenosti između dvije točke ako znate njihove koordinate i dvije druge udaljenosti. Štoviše, izračunava se vrlo specifično, kao kvadratni korijen zbroja kvadrata koordinatnih udaljenosti. Euklidska metrika nije linearni oblik koordinatnih udaljenosti, već kvadratni! Samo specifična svojstva euklidske ravnine čine povezivanje metrike s najkraćim putovima koji povezuju točke tako jednostavnim. Udaljenosti su uvijek linearne funkcije pomaka duž staze. Metrika je kvadratna funkcija ovih pomaka. I tu leži temeljna razlika između metrike i intuitivno shvaćene udaljenosti, kao linearne funkcije pomaka od točke. Štoviše, za nas općenito, udaljenost je izravno povezana sa samim pomakom.

Zašto, zaboga, zašto je funkcija kvadratnog pomaka tako važna? I ima li doista pravo nazivati se daljinom u punom smislu te riječi? Ili je to prilično specifično svojstvo samo euklidskog prostora (dobro, ili neke obitelji prostora bliskih euklidskom)?

Napravimo mali korak u stranu i razgovarajmo detaljnije o svojstvima mjernih jedinica. Zapitajmo se: kakva bi trebala biti ravnala da bismo na listu papira mogli nacrtati koordinatnu mrežu? Čvrst, čvrst i nepromjenjiv, kažete. A zašto "vladari"? Jedan je dovoljan! Istina, ako se može rotirati po želji u ravnini papira i pomicati po njoj. Jeste li primijetili "ako"? Da, imamo priliku koristiti takvo ravnalo u odnosu na ravninu. Ravnalo je samo za sebe, ravnina je sama za sebe, ali nam ravnina dopušta da "pričvrstimo" naše ravnalo za sebe. Što je s kuglastom površinom? Kako god ga nanijeli, sve strši izvan površine. Samo ga želim saviti, odreći se njegove tvrdoće i krutosti. Ostavimo za sada ovaj tok misli. Što još želimo od linije? Tvrdoća i krutost zapravo podrazumijevaju nešto drugo, za nas puno važnije pri mjerenju - jamstvo nepromjenjivosti odabranog ravnala. Želimo mjeriti istim mjerilom. Zašto je to potrebno? Kako misliš zašto?! Da bi mogli usporediti rezultate mjerenja svugdje u ravnini. Kako god okrećemo ravnalo, kako god ga pomičemo, neka njegova svojstva, duljina, moraju biti zajamčeno nepromijenjena. Duljina je udaljenost između dviju točaka (u ravnoj liniji) na ravnalu. Vrlo sličan metričkom. Ali metrika je uvedena (ili postoji) u ravnini, za točke na ravnini, i kakve veze ima ravnalo s tim? I unatoč tome što metrika je upravo slika stalne duljine apstraktnog ravnala dovedena do logičnog završetka, otrgnuta od najudaljenijeg ravnala i dodijeljena svakoj točki ravnine.

Iako su naša ravnala uvijek vanjski objekti za udaljenosti koje mjere na ravnini, mi ih također smatramo unutarnjim mjerilima koja pripadaju ravnini. Dakle, govorimo o općem svojstvu i vanjskih i unutarnjih vladara. A ovo svojstvo je jedno od dva glavna - veličina, što čini razmjer mjernom jedinicom (drugo svojstvo razmjera je smjer). Za euklidski prostor čini se da je ovo svojstvo neovisno o smjeru ravnala i njegovom položaju (od točke u prostoru). Postoje dva načina da se izrazi ta neovisnost. Prva metoda, pasivni pogled na stvari, govori o nepromjenjivosti veličine, njezinoj istovjetnosti pri proizvoljnom izboru dopuštenih koordinata. Druga metoda, aktivni pogled, govori o nepromjenjivosti pri translaciji i rotaciji, kao rezultatu eksplicitnog prijelaza od točke do točke. Ove metode nisu međusobno ekvivalentne. Prvi je jednostavno formalizacija tvrdnje da je količina koja postoji na danom mjestu (točki) ista bez obzira na točku gledišta. Drugi također navodi da su vrijednosti količina u različitim točkama iste. Jasno je da je ovo puno jača izjava.

Zadržimo se za sada na nepromjenjivosti vrijednosti mjerila za proizvoljan izbor koordinata. Ups! Kao ovo? Za dodjeljivanje koordinata točkama već trebate imati mjerila. Oni. upravo ova linija. Koje su druge koordinate? Druge linije? Zapravo, to je upravo to! Ali! Činjenica da u euklidskoj ravnini možemo rotirati naše ravnalo u točki kako želimo, stvara dojam da se koordinate mogu mijenjati bez promjene ravnala. To je iluzija, ali tako ugodna iluzija! Kako smo na to navikli! Uvijek kažemo – rotirani koordinatni sustav. A ta se iluzija temelji na određenom postuliranom svojstvu razmjera u euklidskoj ravnini - nepromjenjivosti njegove "duljine" pod proizvoljnom rotacijom u točki, tj. s proizvoljnom promjenom drugog svojstva mjerila, smjera. A ovo se svojstvo odvija u bilo kojoj točki euklidske ravnine. Mjerilo posvuda ima “duljinu” koja ne ovisi o lokalnom izboru smjerova koordinatnih osi. Ovo je postulat za euklidski prostor. I kako ćemo odrediti ovu duljinu? U koordinatnom sustavu u kojem je odabrano mjerilo mjerna jedinica po jednoj od osi, definiramo ga vrlo jednostavno - to je ta ista jedinica. A u koordinatnom sustavu (pravokutnom), u kojem se odabrano mjerilo ne poklapa ni s jednom od osi? Koristeći Pitagorin teorem. Teoremi su teoremi, ali ovdje postoji mala prijevara. Zapravo, ovaj bi teorem trebao zamijeniti neke od aksioma koje je formulirao Euklid. Ona im je ekvivalentna. I daljnjom generalizacijom geometrije (za proizvoljne površine, na primjer), oslanjaju se upravo na metodu izračuna duljine mjerila. Zapravo, ova se metoda svodi u kategoriju aksioma.

Ponovimo sada nešto što je temelj geometrije, što nam omogućuje dodjeljivanje koordinata točkama u ravnini.

Govorimo o mjernoj jedinici, mjerilu. Skala postoji u bilo kojoj točki. Ima veličinu - "duljinu" i smjer. Duljina je nepromjenjiva (ne mijenja se) kada se smjer u točki promijeni. U pravokutnim koordinatama u euklidskom prostoru, kvadrat duljine mjerila proizvoljno usmjerenog iz neke točke jednak je zbroju kvadrata njegovih projekcija na os. Ova geometrijska veličina naziva se i vektor. Dakle, skala je vektor. A "duljina" vektora također se naziva normom. Fino. Ali gdje je ovdje metrika? A metrika s ovim pristupom postoji način dodjeljivanja norme bilo kojem vektoru u svakoj točki, metoda za izračunavanje ove norme za proizvoljan položaj ovog vektora u odnosu na vektore koji čine bazu, referentnu točku(one koje određuju pravce koordinatnih osi iz dane točke i po definiciji imaju jediničnu normu, tj. mjerne jedinice). Vrlo je važno da se ova metoda definira za svaku točku u prostoru (u ovom slučaju ravninu). Dakle, to je svojstvo ovog prostora i njegovih unutarnjih vektora, a ne objekata izvan prostora.

Oprostite, ali već smo na samom početku dali definiciju metričkih prostora. Zašto nova definicija? A slaže li se sa starim? Ali zašto. Ovdje smo naznačili kako se točno taj realni broj postavlja i određuje. Naime, udaljenost između točaka jednaka je “dužini”, normi vektora koji povezuje te točke (u euklidskom prostoru). Činjenica da vektor ima određenu normu, neovisno o točki gledišta na njega (izbor referentne točke) je definicija vektora. Najvažniji uvjet koji čini metriku prostora je zahtjev da vektori sa zadanom normom postoje u svakoj točki prostora u svim smjerovima. I ova je definicija sasvim u skladu s onom danom na samom početku. Je li moguće drugačije definirati metriku na određenom prostoru? U principu je moguće. Pa čak i na mnoge načine. Samo što će to biti potpuno različite klase prostora koje ne uključuju euklidski prostor niti kao poseban slučaj.

Zašto je euklidski prostor poseban za nas? Pa, kako je? Na prvi pogled, sam prostor u kojem živimo ima upravo ova svojstva. Da, nakon detaljnijeg ispitivanja, nije baš tako. Ali postoji razlika između “ne baš tako” i “uopće nije tako”?! Iako se čini da je skup riječi isti. Dakle, naše prostor-vrijeme, ako ne euklidsko, onda pod određenim uvjetima može biti vrlo blizu tome. Prema tome, moramo izabrati iz obitelji prostora u kojoj postoji euklidski prostor. To je ono što mi radimo. Ali ipak, što je tako posebno u euklidskom prostoru izraženo u određenim svojstvima njegove metrike? Ima dosta nekretnina, većina je već spomenuta. Pokušat ću formulirati ovu značajku prilično kompaktno. Euklidski prostor je takav da je moguće birati mjerila (odnosno unositi koordinate) tako da bude u potpunosti ispunjen pravokutnom koordinatnom mrežom. Možda je ovo kada je metrika u svakoj točki prostora ista. U suštini, to znači da za to potrebna mjerila postoje u svakoj točki prostora i sva su identična jednom jedinom. Za cijeli prostor dovoljan je jedan lenjir, koji se može pomaknuti u bilo koju točku (u aktivnom smislu) a da mu se ne promijeni veličina i smjer.

Gore sam postavio pitanje zašto je metrika kvadratna funkcija pomaka. Za sada ostaje bez odgovora. Sigurno ćemo opet doći na ovo. Sada zabilježite sebi za budućnost - metrika u obitelji prostora koju trebamo je kvantiteta nepromjenjiva pod koordinatnim transformacijama. Do sada smo govorili o Kartezijevim koordinatama, ali ću ovdje odmah naglasiti da to vrijedi za sve transformacije koordinata koje su dopuštene u danoj točki u danom prostoru. Veličina koja je nepromjenjiva (ne mijenja se) tijekom koordinatnih transformacija ima još jedan poseban naziv u geometriji - skalar. Pogledaj koliko imena ima za istu stvar - konstantan, nepromjenjiv, skalar... Možda postoji još nešto, ne pada vam odmah na pamet. To govori o važnosti samog koncepta. Dakle, metrika je skalar u određenom smislu. Naravno, postoje i drugi skalari u geometriji.

Zašto u "određenom smislu"? Zato što koncept metrike uključuje dvije točke, a ne jednu! A vektor je povezan (definiran) samo s jednom točkom. Ispada da sam vas prevario? Ne, samo nisam rekao sve što je trebalo reći. Ali mora se reći da metrika nije norma proizvoljnog vektora, već samo vektora infinitezimalnog pomaka iz dane točke u proizvoljnom smjeru. Kada ta norma ne ovisi o smjeru pomaka iz točke, tada se njezina skalarna vrijednost može smatrati svojstvom samo te jedne točke. U isto vrijeme, i dalje ostaje pravilo za izračunavanje norme za bilo koji drugi vektor. Kao ovo.

Nešto se ne slaže... Norme su različite za različite vektore! I metrika je skalarna, vrijednost je ista. Kontradikcija!

Nema proturječnosti. Jasno sam rekao - pravilo obračuna. Za sve vektore. I sama specifična vrijednost, koja se također naziva metrikom, izračunava se prema ovom pravilu samo za jedan vektor, pomak. Naš je jezik navikao na slobode, izostavljanja, kratice... Pa smo navikli i skalar i pravilo za njegovo izračunavanje zvati metrikom. Zapravo, to je gotovo ista stvar. Skoro, ali ne sasvim. I dalje je važno vidjeti razliku između pravila i rezultata dobivenog pomoću njega. Što je važnije - pravilo ili rezultat? Čudno, u ovom slučaju, pravilo... Stoga, mnogo češće u geometriji i fizici, kada govore o metrici, misle na pravilo. Samo vrlo tvrdoglavi matematičari radije govore striktno o rezultatu. I za to postoje razlozi, ali o njima više na drugom mjestu.

Također bih želio napomenuti da se u uobičajenijem načinu predstavljanja, kada se koncepti vektorskih prostora uzimaju kao osnova, metrika uvodi kao skalarni umnožak svih baznih i referentnih vektora u paru. U tom slučaju skalarni produkt vektora mora biti definiran unaprijed. A na putu koji sam ovdje slijedio, to je prisutnost metričkog tenzora u prostoru koji nam omogućuje da uvedemo i definiramo skalarni produkt vektora. Ovdje je metrika primarna, njezina nam prisutnost omogućuje uvođenje skalarnog produkta kao svojevrsne invarijante koja povezuje dva različita vektora. Ako se skalar izračuna pomoću metrike za isti vektor, onda je to jednostavno njegova norma. Ako se ovaj skalar izračunava za dva različita vektora, onda je to njihov točkasti umnožak. Ako je to također norma infinitezimalnog vektora, onda je sasvim prihvatljivo jednostavno ga nazvati metrikom u danoj točki.

A što možemo reći o metrici u pravilu? Ovdje ćemo morati koristiti formule. Neka koordinate uz broj osi i budu označene kao x i. A pomak od date točke do susjedne dx i. Imajte na umu da koordinate nisu vektor! A pomak je samo vektor! U takvom zapisu, metrička "udaljenost" između dane točke i susjedne, prema Pitagorinom teoremu, izračunat će se pomoću formule

ds 2 = g ik dx i dx k

Ovdje s lijeve strane nalazi se kvadrat metričke "udaljenosti" između točaka, čija je "koordinatna" (odnosno duž svake pojedinačne koordinatne crte) udaljenost određena vektorom pomaka dx i. Desno je zbroj podudarnih indeksa svih parnih umnožaka komponenata vektora pomaka s pripadajućim koeficijentima. A njihova tablica, matrica koeficijenata g ik, koja postavlja pravilo za izračunavanje metričke norme, zove se metrički tenzor. I upravo se taj tenzor u većini slučajeva naziva metrikom. Izraz “” ovdje je iznimno važan. A to znači da će u drugom koordinatnom sustavu gore napisana formula biti ista, samo će tablica sadržavati druge (u općem slučaju) koeficijente, koji se izračunavaju na strogo definiran način preko ovih i koeficijenata pretvorbe koordinata. Euklidski prostor karakterizira činjenica da je u Kartezijevim koordinatama oblik ovog tenzora krajnje jednostavan i isti u svim Kartezijevim koordinatama. Matrica g ik sadrži samo jedinice na dijagonali (za i=k), a preostali brojevi su nule. Ako se u euklidskom prostoru koriste nekartezijeve koordinate, tada matrica u njima neće izgledati tako jednostavno.

Dakle, zapisali smo pravilo koje određuje metričku “udaljenost” između dvije točke u euklidskom prostoru. Ovo pravilo je napisano za dvije proizvoljno bliske točke. U euklidskom prostoru, tj. u onom u kojem metrički tenzor može biti dijagonala s jedinicama na dijagonali u nekom koordinatnom sustavu u svakoj točki, nema temeljne razlike između konačnih i infinitezimalnih vektora pomaka. Ali više smo zainteresirani za slučaj Riemanovih prostora (kao što je površina lopte, na primjer), gdje je ova razlika značajna. Dakle, pretpostavljamo da metrički tenzor općenito nije dijagonalan i da se mijenja kada se kreće od točke do točke u prostoru. Ali rezultat njegove primjene, ds 2, ostaje u svakoj točki neovisno o izboru smjera pomaka io samoj točki. Ovo je vrlo strog uvjet (manje strog od Euklidskog uvjeta) i kada je ispunjen, prostor se naziva Riemannov.

Vjerojatno ste primijetili da vrlo često riječi "duljina" i udaljenost stavljam u navodnike." Zato ovo radim. U slučaju ravnine i trodimenzionalnog euklidskog prostora, čini se da su metričke "udaljenost" i "duljina" potpuno jednake običnim udaljenostima mjerenim ravnalima. Štoviše, ovi su koncepti uvedeni kako bi se formalizirao rad s rezultatima mjerenja. Zašto se onda "čini da se podudaraju"? Smiješno, ali upravo je to slučaj kada su matematičari, zajedno s prljavom (nepotrebnom) vodom, izbacili i dijete iz kade. Ne, nešto su ostavili, ali ono što je ostalo prestalo je biti dijete (daljina). To je lako vidjeti čak i na primjeru Euklidske ravnine.

Dopustite mi da vas podsjetim da metrička "udaljenost" ne ovisi o izboru kartezijevih (i ne samo) koordinata, recimo, na listu papira. Neka u nekim koordinatama ta udaljenost između dviju točaka na koordinatnoj osi bude jednaka 10. Je li moguće naznačiti druge koordinate u kojima će udaljenost između tih istih točaka biti jednaka 1? Nema problema. Jednostavno iscrtajte kao jedinicu duž istih osi novu jedinicu jednaku 10 prethodnih. Je li se zbog toga promijenio euklidski prostor? Što je bilo? Ali činjenica je da kada nešto mjerimo, nije nam dovoljno znati broj. Također moramo znati koje su jedinice korištene da se dobije ovaj broj. Matematika u danas svima poznatom obliku to ne zanima. Ona se bavi samo brojevima. Izbor mjernih jedinica napravljen je prije primjene matematike i više se ne bi trebao mijenjati! Ali naše udaljenosti i duljine bez pokaznih mjerila ne govore nam ništa! Matematika ne mari. Kada je riječ o metričkoj "udaljenosti", njena formalna primjena je ravnodušna prema izboru mjerila. Čak i metri, čak i hvati. Važne su samo brojke. Zato sam stavio navodnike. Znate li kakvu nuspojavu ovaj pristup ima u matematici Riemanovih prostora? Evo što je. Nema smisla razmatrati promjenu mjerila od točke do točke. Samo promjena smjera. I to unatoč činjenici da je promjena mjerila pomoću transformacija koordinata u takvoj geometriji sasvim obična stvar. Je li moguće u geometriju uključiti dosljedno razmatranje svojstava mjerila u njihovoj cjelosti? Limenka. Samo Da biste to učinili, morat ćete ukloniti mnoge konvencije i naučiti stvari nazivati pravim imenom. Jedan od prvih koraka bit će shvaćanje činjenice da nijedna metrika u biti nije udaljenost i da to ne može biti. To svakako ima neko fizičko značenje, i to vrlo važno. Ali drugačije.

U fizici se pozornost na ulogu metrike skrenula s pojavom teorija relativnosti - prvo posebnih, zatim općih, u kojima je metrika postala središnja struktura teorije. Posebna teorija relativnosti nastala je na temelju činjenice da trodimenzionalna udaljenost nije skalar sa stajališta skupa inercijalnih fizičkih referentnih sustava koji se gibaju jedan u odnosu na drugog jednoliko i pravocrtno. Pokazalo se da je druga veličina skalar, invarijanta, koja se naziva interval. Interval između događaja. A da biste izračunali njegovu vrijednost, morate uzeti u obzir vremenski interval između tih događaja. Štoviše, pokazalo se da je pravilo za izračunavanje metrike (a interval se odmah počeo smatrati metrikom u jedinstvenom prostor-vremenu, prostoru događaja) drugačije od uobičajenog euklidskog pravila u trodimenzionalnom prostoru. Slično, ali malo drugačije. Uveden odgovarajući metrički prostor četiriju dimenzija Herman Minkowski, počeo se nazivati. Upravo je rad Minkowskog skrenuo pozornost fizičara, uključujući Einsteina, na važnost koncepta metrike kao fizičke veličine, a ne samo matematičke.

Opća teorija relativnosti također je uključila u razmatranje fizičke referentne sustave ubrzane jedan u odnosu na drugi. I tako je uspjela dati opis gravitacijskih fenomena na novoj razini u odnosu na Newtonovu teoriju. I uspjela je to postići dajući značenje fizičkom polju, posebno metrici - i vrijednosti i pravilu, metričkom tenzoru. Istodobno se koristi matematičkom konstrukcijom Riemannova prostora kao slike prostor-vremena. Nećemo ići predaleko u detalje ove teorije. Između ostalog, ova teorija kaže da svijet (prostor-vrijeme), u kojem se nalaze masivna tijela, odnosno tijela koja se međusobno privlače, ima metriku koja se razlikuje od nama tako ugodne euklidske metrike. Sve izjave u nastavku su ekvivalentne:

Fizička izjava. Točkasta tijela s masom se međusobno privlače.

U prostor-vremenu, u kojem se nalaze masivna tijela, nemoguće je posvuda uvesti krutu pravokutnu mrežu. Ne postoje mjerni instrumenti koji to omogućuju. Uvijek, bez obzira koliko male bile, "ćelije" dobivene mreže bit će zakrivljeni četverokuti.

Možete odabrati ljestvicu s istom vrijednošću (normom) za cijeli prostor-vrijeme. Svaka takva ljestvica može se pomaknuti sa svoje točke na bilo koju drugu točku i usporediti s onim što tamo već postoji. ALI! Čak i ako je pomak infiniteziman, smjerovi uspoređivanih ljestvica općenito se neće podudarati. Što je vaga bliža tijelu s masom i što je ta ista masa veća, to je jača. Samo tamo gdje nema masa (ali, evo pitanje za vas - što je sa samim vagama?) smjerovi će se podudarati.

U području prostor-vremena koje sadrži masivna tijela, ne postoji koordinatni sustav u kojem je metrički tenzor u svakoj točki predstavljen matricom koja je posvuda jednaka nuli, osim u dijagonali na kojoj se one nalaze.

Razlika između metrike i euklidske je manifestacija prisutnosti gravitacijskog polja (gravitacijsko polje). Štoviše, polje metričkog tenzora je gravitacijsko polje.

Moglo bi se navesti još puno sličnih izjava, ali sada bih vam skrenuo pozornost na posljednju. Zakrivljenost. Ovo je nešto o čemu još nismo razgovarali. Kakve to veze ima s metrikom? Uglavnom - nijedan! je općenitiji koncept od metrike. U kojem smislu?

Obitelj Riemannovih prostora, koja također uključuje euklidske prostore, sama je dio općenitije obitelji. Ti prostori, općenito govoreći, ne impliciraju postojanje takve veličine kao što je metrika za svaki od njegovih parova točaka. Ali njihovo nužno svojstvo je postojanje dviju drugih međusobno povezanih struktura – afine povezanosti i zakrivljenosti. I samo pod određenim uvjetima zakrivljenosti (ili povezanosti) metrika postoji u takvim prostorima. Tada se ti prostori nazivaju Riemannovi. Svaki Riemannov prostor ima povezanost i zakrivljenost. Ali ne obrnuto.

Ali također se ne može reći da je metrika sekundarna u odnosu na povezanost ili zakrivljenost. Ne. Postojanje metrike je iskaz određenih svojstava povezanosti, a time i zakrivljenosti. U standardnoj interpretaciji opće relativnosti, metrika se smatra važnijom strukturom koja tvori oblik teorije. A afina povezanost i zakrivljenost ispadaju sekundarne, izvedene iz metrike. Tu interpretaciju postavio je Einstein, u vrijeme kada matematika još nije razvila dovoljno napredno i dosljedno razumijevanje hijerarhije važnosti struktura koje određuju svojstva obitelji prostora koji vode do euklidskih. Nakon stvaranja GTR aparata, prvenstveno kroz radove Weyla i Schoutena (ne samo njih, naravno), razvija se matematika prostora afine povezanosti. Zapravo, ovaj je rad potaknut pojavom opće teorije relativnosti. Kao što možete vidjeti, kanonsko tumačenje važnosti struktura u općoj teoriji relativnosti ne podudara se s trenutnim pogledom matematike na njihov odnos. Ovo kanonsko tumačenje nije ništa drugo nego poistovjećivanje određenih matematičkih struktura s fizičkim poljima. Dajući im fizičko značenje.

U općoj teoriji relativnosti postoje dva plana za opisivanje prostor-vremena. Prvi od njih je sam prostor-vrijeme kao prostor događaja. Događaji koji kontinuirano ispunjavaju bilo koje područje prostor-vremena karakterizirani su pomoću četiri koordinate. Stoga se pretpostavlja da su koordinatni sustavi uneseni. Sam naziv teorije usmjerava pažnju upravo na to - zakoni prirode koji se odvijaju u takvom prostor-vremenu moraju biti identično formulirani u odnosu na bilo koji dopustivi koordinatni sustav. Taj se zahtjev naziva načelo opće relativnosti. Imajte na umu da ovaj teorijski plan još ne govori ništa o prisutnosti ili odsutnosti metrike u prostor-vremenu, ali već daje osnovu za postojanje afine veze u njemu (zajedno s zakrivljenošću i drugim izvedenim matematičkim strukturama). Naravno, već na ovoj razini postoji potreba da se matematičkim objektima teorije da fizičko značenje. Evo ga. Točka u prostor-vremenu prikazuje događaj, karakteriziran s jedne strane položajem i trenutkom vremena, s druge četiri koordinate. Nešto čudno? Zar nisu ista stvar? Ali ne. U općoj teoriji relativnosti to nije isto. Koordinate najopćenitijeg oblika, dopuštene u teoriji, ne mogu se tumačiti kao položaji i trenuci vremena. Ova mogućnost postulirana je samo za vrlo ograničenu skupinu koordinata - lokalno inercijalnih, koje postoje samo u blizini svake točke, ali ne u cijelom području koje pokriva opći koordinatni sustav. Ovo je još jedan postulat teorije. Ovo je takav hibrid. Napomenut ću da tu nastaju mnogi problemi opće relativnosti, ali neću se sada njima baviti.

Drugim planom teorije može se smatrati onaj dio njezinih postavki, koji uvodi u razmatranje fizikalnu pojavu u prostor-vremenu - gravitaciju, međusobno privlačenje masivnih tijela. Tvrdi se da se ovaj fizički fenomen može, pod određenim uvjetima, uništiti jednostavnim izborom prikladnog referentnog okvira, naime lokalno inercijalnog. Za sva tijela koja imaju istu akceleraciju (slobodni pad) zbog prisutnosti u malom području gravitacijskog polja udaljenog masivnog tijela, to polje nije vidljivo u određenom referentnom okviru. Formalno, postulati tu završavaju, ali zapravo se glavna jednadžba teorije, koja uvodi u razmatranje metriku, također odnosi na postulate, i to kao matematičku tvrdnju i kao fizikalnu. Iako neću ići u detalje o jednadžbi (sustavu jednadžbi, zapravo), ipak je korisno imati je pred sobom:

R ik = -s (T ik – 1/2 T g ik)

Ovdje s lijeve strane nalazi se takozvani Riccijev tenzor, određena konvolucija (kombinacija sastavnih komponenti) tenzora potpune zakrivljenosti. S pravom se može nazvati i zakrivljenošću. S desne strane je konstrukcija tenzora energije-momenta (čisto fizikalna veličina u općoj teoriji relativnosti, singularna za masivna tijela i vanjska za prostor-vrijeme, koji je jednostavno nositelj za energiju-moment u ovoj teoriji) i metrika, koja pretpostavlja se da postoji. Štoviše, ova metrika, kao skalarna veličina koju proizvodi metrički tenzor, ista je za sve točke u regiji. Postoji i dimenzijska konstanta c, proporcionalna gravitacijskoj konstanti. Iz ove jednadžbe je jasno da se, uglavnom, zakrivljenost uspoređuje s energijom-momentom i metrikom. Fizičko značenje pripisuje se metrici u općoj teoriji relativnosti nakon dobivanja rješenja ovih jednadžbi. Kako su u ovom rješenju metrički koeficijenti linearno povezani s potencijalom gravitacijskog polja (izračunatim preko njega), značenje potencijala tog polja pripisuje se metričkom tenzoru. S ovim pristupom, zakrivljenost bi trebala imati slično značenje. A afina veza se tumači kao jakost polja. Ovo tumačenje je netočno; njegova pogreška povezana je s gore navedenim paradoksom u tumačenju koordinata. Naravno, to ne prolazi nezapaženo za teoriju i očituje se u nizu dobro poznatih problema (nelokalizabilnost energije gravitacijskog polja, interpretacija singulariteta), koji jednostavno ne nastaju kada se geometrijskim veličinama daju ispravni fizikalni značenje. O svemu tome detaljnije govori knjiga „“.

No, čak iu općoj teoriji relativnosti metrika neizbježno, osim značenja koje joj je umjetno nametnuto, ima još jedno fizičko značenje. Prisjetimo se što karakterizira metriku u slučaju euklidskog prostora? Jedna vrlo važna stvar za mjerenja u prostor-vremenu je mogućnost uvođenja u ovaj prostor krute pravokutne koordinatne mreže koja ravnomjerno ispunjava cijelo područje. Ova mreža se u fizici naziva inercijskim referentnim okvirom. Takav referentni sustav (koordinatni sustav) odgovara jednom i samo jednom standardnom obliku metričkog tenzora. U referentnim sustavima koji se gibaju proizvoljno u odnosu na inercijalni, oblik metričkog tenzora je drugačiji od standardnog. S fizičke točke gledišta, uloga "referentne mreže" prilično je transparentna. Ako imate kruto referentno tijelo, čija je svaka točka opremljena istim satom, koji postoji u vremenu, onda ono samo implementira takvu mrežu. Za prazan prostor jednostavno izmislimo takvo referentno tijelo, dajući mu (prostoru) točno istu metriku. U ovom razumijevanju, metrički tenzor, različit od standardnog euklidskog, kaže da je referentni sustav (koordinate) izgrađen korištenjem nekrutog tijela, a možda i sat radi drugačije u svojim točkama. Što mislim pod ovim? Ali činjenica da metrički tenzor je matematička slika nekih od za nas najvažnijih svojstava referentnog sustava. Ona svojstva koja apsolutno karakteriziraju strukturu samog referentnog sustava omogućuju nam da odredimo koliko je on "dobar", koliko se razlikuje od idealnog - inercijalnog okvira. Dakle, GTR koristi metrički tenzor upravo kao takvu sliku. Kako slika mjernih instrumenata raspoređenih u referentnom području, koji mogu mijenjati svoju orijentaciju od točke do točke, ali imaju posvuda istu normu, zajedničku svim referentnim vektorima. Metrika, koja se smatra skalarom, je ova norma, veličina ljestvice. Metrika kao tenzor omogućuje nam razmatranje proizvoljnog relativnog gibanja u odnosu na sve ljestvice koje čine referentno tijelo. A opća teorija relativnosti opisuje situaciju u kojoj je u prostor-vremenu moguće imati takvo referentno tijelo, stvarno ili imaginarno.

Ovakav pogled na metriku je svakako točan. Štoviše, također je produktivan, jer odmah usmjerava pozornost na preostale sporazume u GTR-u. Doista, dopustili smo referentne okvire u kojima ljestvice na različitim točkama mogu biti različito usmjerene (u četverodimenzionalnom svijetu, orijentacija također uključuje kretanje). I dalje zahtijevamo da neka apsolutna karakteristika ljestvice, njezina norma (interval) ostane ista. Stoga je izjava opće teorije relativnosti da je uzela u obzir sve moguće referentne sustave pretjerana. Nije tako općenito, relativnost u ovoj teoriji.

Engleski: Wikipedia čini stranicu sigurnijom. Koristite stari web preglednik koji se u budućnosti neće moći povezati s Wikipedijom. Ažurirajte svoj uređaj ili kontaktirajte svog IT administratora.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，请更新IT ）。

španjolski: Wikipedia je na sigurnom mjestu. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrator informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: IT情報は以下に英語で提供しています。

Njemački: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

talijanski: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stay usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

mađarski: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia je pogledala stranicu više. Vaši drugi web-mjesta su uključeni u traženje Wikipedije u framtiden-u. Updatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer tehnicsk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Uklanjamo podršku za nesigurne verzije TLS protokola, posebno TLSv1.0 i TLSv1.1, na koje se softver vašeg preglednika oslanja za povezivanje s našim stranicama. To je obično uzrokovano zastarjelim preglednicima ili starijim Android pametnim telefonima. Ili to može biti smetnja korporativnog ili osobnog softvera "Web Security", koji zapravo smanjuje sigurnost veze.

Morate nadograditi svoj web preglednik ili na drugi način riješiti ovaj problem da biste pristupili našim stranicama. Ova će poruka ostati do 1. siječnja 2020. Nakon tog datuma vaš preglednik neće moći uspostaviti vezu s našim poslužiteljima.

Metrički prostor.

Metrički prostor je skup u kojem je definirana udaljenost između bilo kojeg para elemenata.

Metrički prostor je par, gdje je skup ( skup predmeta metrički prostor, set bodova metrički prostor), i numerička je funkcija ( metrika prostor), koji je definiran na Kartezijevom produktu i uzima vrijednosti u skupu realnih brojeva - kao što je za točke

Bilješka: Aksiomi impliciraju da je funkcija udaljenosti nenegativna, jer

Komprimirani prikazi.

Komprimirani prikazi jedna od glavnih odredbi teorije metrički prostori o postojanju i jedinstvenosti fiksne točke skupa pod nekim posebnim ("kompresijskim") preslikavanjem iste u sebe. S. o. p. koriste se uglavnom u teoriji diferencijalnih i integralnih jednadžbi.

Prilagođeni prikaz A metrički prostor M u sebe, koji u svakoj točki x iz M odgovara nekoj točki y = Ax iz M, stvara u prostoru M jednadžba

Sjekira = x. (*)

Prikaz radnje A po bodu x može se protumačiti kao pomicanje do točke y = Ax. Točka x naziva se fiksna točka preslikavanja A, ako je jednakost (*) zadovoljena. Da. pitanje rješivosti jednadžbe (*) je pitanje pronalaženja fiksnih točaka preslikavanja A.

Prikaz A metrički prostor M u sebe nazivamo komprimiranim ako postoji takav pozitivan broj a< 1, что для любых точек x I na iz M nejednakost vrijedi

d ( Axe, Ay) £ a d(x, y),

gdje je simbol d(ti, u) označava udaljenost između točaka u i u metričkog prostora M.

S. o. P. tvrdi da svako komprimirano preslikavanje potpunog metričkog prostora u sebe ima, štoviše, samo jednu fiksnu točku. Štoviše, za bilo koje polazište x 0 iz M podslijed ( x n), definiran relacijama ponavljanja

x n = Ax n-1, n = 1,2,...,

ima kao granicu fiksnu točku x prikaz A. U ovom slučaju vrijedi sljedeća procjena pogreške:

S. o. p. omogućuje dokazivanje važnih teorema o postojanju i jedinstvenosti rješenja diferencijalnih, integralnih i drugih jednadžbi korištenjem jedinstvene metode. Pod uvjetima primjenjivosti S. o. rješenje se može izračunati s unaprijed određenom točnošću metoda uzastopnih aproksimacija.

Određenim izborom cjelovitog metričkog prostora M i mapiranje A Ti se problemi prvo svode na jednadžbu (*), a zatim se pronalaze uvjeti pod kojima se preslikavanje A izgleda komprimirano.

Konvergencija preslikavanja s obzirom na ovu metriku je ekvivalentna njihovoj uniformnoj konvergenciji u cijelom prostoru.

U posebnom slučaju kada je kompaktni prostor i brojevni pravac, dobivamo prostor svih neprekidnih funkcija na prostoru X s metrikom uniformne konvergencije.

Da bi ova funkcija postala metrika, u prva dva prostora potrebno je identificirati funkcije koje se razlikuju na skupu mjere 0. U suprotnom, ova funkcija će biti samo polumetrika. (U prostoru funkcija koje su kontinuirane na intervalu, funkcije koje se razlikuju na skupu mjere 0 već su iste.)

Do sada se, govoreći o udaljenosti, uvijek mislilo na euklidsku udaljenost. Dakle, definirali smo udaljenost između vektora kao duljinu vektora, naime:

Ali udaljenosti se mogu izračunati na drugi način, koristeći različite mjere duljine. Na primjer, razmotrite pojednostavljenu kartu grada u obliku pravokutne mreže dvosmjernih ulica. Tada odgovarajuća mjera duljine može biti najkraća udaljenost koju je potrebno prijeći da bi se došlo od jednog raskrižja do drugog. Ponekad se ta udaljenost naziva Manhattan.

Umjesto nabrajanja svih mogućih mjera za duljinu, od kojih nam većina neće trebati, sada ćemo razmotriti zahtjeve (aksiome) koje proizvoljna mjera za duljinu mora zadovoljiti. Svi daljnji teoremi o udaljenostima bit će dokazani u okviru ovih aksioma, odnosno u najopćenitijem obliku. U matematici je uobičajeno koristiti termin metrika umjesto izraza "mjera za duljinu".

Metrika.

Metrika na skupu X je realna funkcija d(x, y) definirana na produktu x i koja zadovoljava sljedeće aksiome:

b) povlači za sobom

d) za sve (nejednakost trokuta).

Metrički prostor je par. Dokaz da euklidska udaljenost zadovoljava aksiome (a), (b) i (c) je trivijalan. Nejednakost trokuta:

dokazali smo to u odjeljku 3.1 (teorem 3.1.2). Dakle, euklidska udaljenost je metrika koju ćemo ubuduće zvati euklidska metrika.

Razmotrimo jednu važnu klasu metrika u prostoru, naime klasu -metrika. -metrika je generalizacija Euklidske metrike i podudara se s njom za . Za p-metriku definira se na sljedeći način:

Sljedeću činjenicu ostavit ćemo bez dokaza:

Dokaz da je -metrika doista metrika, tj. zadovoljava aksiome koje također izostavljamo. Djelomično je ovo pitanje uključeno u vježbe.

Imajte na umu da u definiciji metrike nismo zahtijevali da elementi x i y pripadaju prostoru. To nam omogućuje definiranje skupa X, kao i njegovih elemenata x, y itd., na mnogo različitih načina. Naš je zadatak pokazati pod kojim uvjetima fraktalna konstrukcija konvergira. Da biste to učinili, morate moći izmjeriti udaljenost između kompaktnih skupova, odnosno morate odrediti odgovarajuću metriku.

Teorija skupova u metričkim prostorima.

Moramo napraviti veliki korak naprijed i proširiti teorijske definicije skupova iz odjeljka 3.1, koji impliciraju euklidsku metriku, na proizvoljne metrike. Otvorena lopta u metričkom prostoru (X, d) definirana je na sljedeći način:

Uzimajući u obzir (3.4), gornje definicije sljedećih pojmova možemo ostaviti nepromijenjene:

Na primjer, skup je otvoren skup ako i samo ako se za bilo koji može specificirati otvorena lopta (u smislu definicije (3.4)), koja je sadržana u E. Popis uključuje sve definicije bez promjena, osim koncept kompaktnosti. Stroga definicija kompaktnog skupa u proizvoljnom metričkom prostoru dana je u dodatku. Budući da će nas uglavnom zanimati kompaktnost podskupova prostora, ostaje na snazi gore navedena definicija (zatvorenost i ograničenost).

Ako je metrika na skupu X i realna je funkcija jedan na jedan, tada

postoji i metrika na X. Aksiomi (a) i (c) su očito zadovoljeni. zadovoljava aksiom (b), budući da je funkcija jedan na jedan. Aksiom (d) bit će napisan kao nejednakost:

odnosno klasična nejednakost trokuta za realne brojeve. Primjer metrike definirane na ovaj način:

Za dvije metrike definirane na skupu X kaže se da su ekvivalentne ako je moguće specificirati tako da:

Može se pokazati da su bilo koje dvije -metrike u prostoru gdje su ekvivalentne (slučaj je prikazan u Vježbi 3 na kraju ovog odjeljka). S druge strane, metrike na skupu R nisu ekvivalentne (4. vježba na kraju ovog odjeljka).

Očito je glavna posljedica ekvivalencije metrike za teoriju fraktala činjenica da se fraktalna dimenzija (poglavlje 5) zadržava pri zamjeni metrike ekvivalentnom. Štoviše, ako je skup otvoren (zatvoren) u jednoj metrici, onda je otvoren (zatvoren) u bilo kojoj ekvivalentnoj metrici. Nadalje, ako je skup ograničen u jednoj metrici, onda je ograničen u bilo kojoj ekvivalentnoj metrici. Isto vrijedi i za savršene, povezane i potpuno diskontinuirane skupove.

Konvergencija.

Neka je metrika na skupu X. Niz točaka metričkog prostora X konvergira do granice u metrici d ako niz brojeva konvergira nuli u uobičajenom smislu, to jest ako: