Incontri e amore

Dimostrare che le altezze del trapezio sono parallele. Cos'è un trapezio? Proprietà del trapezio isoscele

\[(\Large(\text(Trapezio libero)))\]

Definizioni

Un trapezio è un quadrilatero convesso in cui due lati sono paralleli e gli altri due lati non sono paralleli.

I lati paralleli di un trapezio si chiamano basi, mentre gli altri due lati si chiamano lati laterali.

L'altezza di un trapezio è la perpendicolare tracciata da un punto qualsiasi di una base a un'altra base.

Teoremi: proprietà del trapezio

1) La somma degli angoli laterali è \(180^\circ\) .

2) Le diagonali dividono il trapezio in quattro triangoli, due dei quali simili e gli altri due di uguale dimensione.

Prova

1) Perché \(AD\parallela BC\), allora gli angoli \(\angolo BAD\) e \(\angolo ABC\) sono unilaterali per queste rette e per la trasversale \(AB\), quindi, \(\angolo BAD +\angolo ABC=180^\circ\).

2) Perché \(AD\parallelo BC\) e \(BD\) sono secanti, quindi \(\angolo DBC=\angolo BDA\) sono trasversali.
Anche \(\angolo BOC=\angolo AOD\) come verticale.
Pertanto, a due angoli \(\triangolo BOC \sim \triangolo AOD\).

Dimostriamolo \(S_(\triangolo AOB)=S_(\triangolo COD)\). Sia \(h\) l'altezza del trapezio. Poi \(S_(\triangolo ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangolo ACD)\). Poi: \

Definizione

La linea mediana di un trapezio è un segmento che collega i punti medi dei lati.

Teorema

La linea mediana del trapezio è parallela alle basi ed è uguale alla loro semisomma.

Prova*

1) Dimostriamo il parallelismo.

Tracciamo per il punto \(M\) la retta \(MN"\parallela AD\) (\(N"\in CD\) ). Quindi, secondo il teorema di Talete (since \(MN"\parallelo AD\parallelo BC, AM=MB\)) Il punto \(N"\) è il centro del segmento \(CD\). Ciò significa che i punti \(N\) e \(N"\) coincideranno.

2) Dimostriamo la formula.

Facciamo \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Permettere \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Allora, per il teorema di Talete, \(M"\) e \(N"\) sono i punti medi dei segmenti \(BB"\) e \(CC"\), rispettivamente. Ciò significa che \(MM"\) è la linea mediana di \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) è la linea mediana di \(\triangle DCC"\) . Ecco perché: \

Perché \(MN\parallelo AD\parallelo BC\) e \(BB", CC"\perp AD\), quindi \(B"M"N"C"\) e \(BM"N"C\) sono rettangoli. Secondo il teorema di Talete, da \(MN\parallelo AD\) e \(AM=MB\) segue che \(B"M"=M"B\) . Quindi, \(B"M"N"C "\) e \(BM"N"C\) sono rettangoli uguali, quindi \(M"N"=B"C"=BC\) .

Così:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Teorema: proprietà di un trapezio arbitrario

I punti medi delle basi, il punto di intersezione delle diagonali del trapezio e il punto di intersezione dei prolungamenti dei lati laterali giacciono sulla stessa retta.

Prova*
Si consiglia di familiarizzare con la dimostrazione dopo aver studiato l'argomento "Somiglianza dei triangoli".

1) Dimostriamo che i punti \(P\), \(N\) e \(M\) giacciono sulla stessa retta.

Disegniamo una linea retta \(PN\) (\(P\) è il punto di intersezione dei prolungamenti dei lati laterali, \(N\) è il centro di \(BC\)). Lascia che intersechi il lato \(AD\) nel punto \(M\) . Dimostriamo che \(M\) è il punto medio di \(AD\) .

Consideriamo \(\triangle BPN\) e \(\triangle APM\) . Sono simili a due angoli (\(\angolo APM\) – generale, \(\angolo PAM=\angolo PBN\) come corrispondente a \(AD\parallelo BC\) e \(AB\) secante). Significa: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Consideriamo \(\triangle CPN\) e \(\triangle DPM\) . Sono simili a due angoli (\(\angolo DPM\) – generale, \(\angolo PDM=\angolo PCN\) come corrispondente a \(AD\parallelo BC\) e \(CD\) secante). Significa: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Da qui \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ma \(BN=NC\) quindi \(AM=DM\) .

2) Dimostriamo che i punti \(N, O, M\) giacciono sulla stessa retta.

Sia \(N\) il punto medio di \(BC\) e \(O\) il punto di intersezione delle diagonali. Disegniamo una linea retta \(NO\) , intersecherà il lato \(AD\) nel punto \(M\) . Dimostriamo che \(M\) è il punto medio di \(AD\) .

\(\triangolo BNO\sim \triangolo DMO\) lungo due angoli (\(\angolo OBN=\angolo ODM\) giacente trasversalmente in \(BC\parallelo AD\) e \(BD\) secante; \(\angolo BON=\angolo DOM\) come verticale). Significa: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Allo stesso modo \(\triangolo CON\sim \triangolo AOM\). Significa: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Da qui \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ma \(BN=CN\) quindi \(AM=MD\) .

\[(\Grande(\text(Trapezio isoscele)))\]

Definizioni

Un trapezio si dice rettangolo se uno dei suoi angoli è retto.

Un trapezio si dice isoscele se i suoi lati sono uguali.

Teoremi: proprietà del trapezio isoscele

1) Un trapezio isoscele ha gli angoli alla base uguali.

2) Le diagonali di un trapezio isoscele sono uguali.

3) Due triangoli formati dalle diagonali e da una base sono isosceli.

Prova

1) Consideriamo il trapezio isoscele \(ABCD\) .

Dai vertici \(B\) e \(C\), lasciamo cadere le perpendicolari \(BM\) e \(CN\) rispettivamente sul lato \(AD\). Poiché \(BM\perp AD\) e \(CN\perp AD\) , allora \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallelo BC\) , allora \(MBCN\) è un parallelogramma, quindi \(BM = CN\) .

Considera i triangoli rettangoli \(ABM\) e \(CDN\) . Poiché le loro ipotenuse sono uguali e il cateto \(BM\) è uguale al cateto \(CN\) , allora questi triangoli sono uguali, quindi \(\angolo DAB = \angolo CDA\) .

Perché \(AB=CD, \angolo A=\angolo D, AD\)- generale, quindi secondo il primo segno. Pertanto, \(AC=BD\) .

3) Perché \(\triangolo ABD=\triangolo ACD\), quindi \(\angolo BDA=\angolo CAD\) . Pertanto il triangolo \(\triangolo AOD\) è isoscele. Allo stesso modo, è dimostrato che \(\triangolo BOC\) è isoscele.

Teoremi: segni di un trapezio isoscele

1) Se un trapezio ha gli angoli alla base uguali allora è isoscele.

2) Se un trapezio ha le diagonali uguali allora è isoscele.

Prova

Considera il trapezio \(ABCD\) tale che \(\angolo A = \angolo D\) .

Completiamo il trapezio al triangolo \(AED\) come mostrato in figura. Poiché \(\angle 1 = \angle 2\) , allora il triangolo \(AED\) è isoscele e \(AE = ED\) . Gli angoli \(1\) e \(3\) sono uguali come angoli corrispondenti per rette parallele \(AD\) e \(BC\) e secanti \(AB\). Allo stesso modo, gli angoli \(2\) e \(4\) sono uguali, ma \(\angolo 1 = \angolo 2\), quindi \(\angolo 3 = \angolo 1 = \angolo 2 = \angolo 4\), quindi, anche il triangolo \(BEC\) è isoscele e \(BE = EC\) .

Infine \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), cioè \(AB = CD\), che è ciò che occorreva dimostrare.

2) Sia \(AC=BD\) . Perché \(\triangolo AOD\sim \triangolo BOC\), allora denotiamo il loro coefficiente di similarità come \(k\) . Quindi se \(BO=x\) , allora \(OD=kx\) . Simile a \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Perché \(AC=BD\) , quindi \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Ciò significa che \(\triangle AOD\) è isoscele e \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Quindi, secondo il primo segno \(\triangolo ABD=\triangolo ACD\) (\(AC=BD, \angolo OAD=\angolo ODA, AD\)– generale). Quindi, \(AB=CD\), perché.

- (Trapezio greco). 1) in geometria, un quadrilatero in cui due lati sono paralleli e due no. 2) una figura adattata per esercizi ginnici. Dizionario delle parole straniere incluse nella lingua russa. Chudinov A.N., 1910. TRAPEZIO... ... Dizionario delle parole straniere della lingua russa

Trapezio- Trapezio. TRAPEZIO (dal greco trapezio, letteralmente tavolo), quadrilatero convesso in cui due lati sono paralleli (le basi del trapezio). L'area di un trapezio è uguale al prodotto della metà della somma delle basi (linea mediana) e dell'altezza. ... Dizionario enciclopedico illustrato

trapezio- Dizionario dei sinonimi russi quadrilatero, proiettile, traversa. sostantivo trapezoidale, numero di sinonimi: 3 traversa (21) ... Dizionario dei sinonimi

TRAPEZIO- (dal greco trapezio, letteralmente tavolo), quadrilatero convesso in cui due lati sono paralleli (le basi di un trapezio). L'area di un trapezio è uguale al prodotto della metà della somma delle basi (linea mediana) e dell'altezza... Enciclopedia moderna

TRAPEZIO- (dal greco trapezio, lett. tavola), quadrilatero in cui due lati opposti, detti basi del trapezio, sono paralleli (nelle figure AD e BC), e gli altri due non paralleli. La distanza tra le basi è chiamata altezza del trapezio (a ... ... Grande dizionario enciclopedico

TRAPEZIO- TRAPEZIO, figura quadrangolare piana in cui due lati opposti sono paralleli. L'area di un trapezio è pari alla metà della somma dei lati paralleli moltiplicata per la lunghezza della perpendicolare tra loro... Dizionario enciclopedico scientifico e tecnico

TRAPEZIO- TRAPEZIO, trapezio, da donna. (dal tavolo greco trapeza). 1. Quadrilatero con due lati paralleli e due non paralleli (mat.). 2. Un attrezzo ginnico costituito da una traversa sospesa su due corde (sport). Acrobatico... ... Dizionario esplicativo di Ushakov

TRAPEZIO- TRAPEZIO, e, femmina. 1. Un quadrilatero con due lati paralleli e due non paralleli. Le basi del trapezio (i suoi lati paralleli). 2. Un attrezzo da circo o da ginnastica è una traversa sospesa su due cavi. Il dizionario esplicativo di Ozhegov. CON … Dizionario esplicativo di Ozhegov

TRAPEZIO- femmina, geom. un quadrilatero con lati disuguali, due dei quali paralleli (paralleli). Trapezio, quadrilatero simile in cui tutti i lati sono separati. Trapezoedro: corpo sfaccettato da trapezi. Dizionario esplicativo di Dahl. IN E. Dahl. 1863 1866 … Dizionario esplicativo di Dahl

TRAPEZIO- (Trapezio), USA, 1956, 105 min. Melodramma. L'aspirante acrobata Tino Orsini si unisce a una compagnia circense dove lavora Mike Ribble, un famoso ex trapezista. Mike una volta si esibì con il padre di Tino. Il giovane Orsini vuole Mike... Enciclopedia del cinema

Trapezio- un quadrilatero i cui due lati sono paralleli e gli altri due lati non sono paralleli. Si chiama la distanza tra i lati paralleli. altezza T. Se i lati paralleli e l'altezza contengono a, b e h metri, allora l'area di T contiene metri quadrati ... Enciclopedia di Brockhaus ed Efron

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Nei materiali di vari test ed esami si trovano molto spesso problemi del trapezio, la cui soluzione richiede la conoscenza delle sue proprietà.

Scopriamo quali proprietà interessanti e utili ha un trapezio per risolvere i problemi.

Dopo aver studiato le proprietà della linea mediana di un trapezio, è possibile formulare e dimostrare Proprietà del segmento che unisce i punti medi delle diagonali di un trapezio. Il segmento che unisce i punti medi delle diagonali di un trapezio è pari alla metà della differenza delle basi.

MO è la linea mediana del triangolo ABC ed è uguale a 1/2BC (Fig. 1).

MQ è la linea mediana del triangolo ABD ed è uguale a 1/2AD.

Allora OQ = MQ – MO, quindi OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Quando si risolvono molti problemi su un trapezio, una delle tecniche principali è di disegnarvi due altezze.

Considera quanto segue compito.

Sia BT l'altezza di un trapezio isoscele ABCD con basi BC e AD, con BC = a, AD = b. Trova le lunghezze dei segmenti AT e TD.

Soluzione.

Risolvere il problema non è difficile (Fig. 2), ma ti permette di ottenere proprietà dell'altezza di un trapezio isoscele tracciato dal vertice di un angolo ottuso: l'altezza di un trapezio isoscele tracciato dal vertice di un angolo ottuso divide la base maggiore in due segmenti, il minore dei quali è pari alla metà della differenza delle basi, e il maggiore è pari alla metà della somma delle basi .

Quando studi le proprietà di un trapezio, devi prestare attenzione a una proprietà come la somiglianza. Quindi, ad esempio, le diagonali di un trapezio lo dividono in quattro triangoli, e i triangoli adiacenti alle basi sono simili, e i triangoli adiacenti ai lati hanno la stessa dimensione. Questa affermazione può essere chiamata proprietà dei triangoli in cui un trapezio è diviso dalle sue diagonali. Inoltre la prima parte dell'enunciato può essere dimostrata molto facilmente mediante il segno di somiglianza dei triangoli a due angoli. Dimostriamolo seconda parte della dichiarazione.

I triangoli BOC e COD hanno un'altezza comune (Fig.3), se prendiamo come basi i segmenti BO e OD. Allora S BOC /S COD = BO/OD = k. Pertanto, S COD = 1/k · S BOC .

Allo stesso modo, i triangoli BOC e AOB hanno un'altezza comune se prendiamo come basi i segmenti CO e OA. Allora S BOC /S AOB = CO/OA = k e S A O B = 1/k · S BOC .

Da queste due frasi segue che S COD = S A O B.

Non soffermiamoci sulla dichiarazione formulata, ma troviamo rapporto tra le aree dei triangoli in cui il trapezio è diviso dalle sue diagonali. Per fare ciò, risolviamo il seguente problema.

Sia il punto O il punto di intersezione delle diagonali del trapezio ABCD con le basi BC e AD. È noto che le aree dei triangoli BOC e AOD sono uguali rispettivamente a S 1 e S 2. Trova l'area del trapezio.

Poiché S COD = S A O B, allora S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Dalla somiglianza dei triangoli BOC e AOD segue che BO/OD = √(S₁/S 2).

Pertanto, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), che significa S COD = √(S 1 · S 2).

Allora S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Usando la somiglianza lo si dimostra proprietà di un segmento passante per il punto di intersezione delle diagonali di un trapezio parallelo alle basi.

Consideriamo compito:

Sia il punto O il punto di intersezione delle diagonali del trapezio ABCD con le basi BC e AD. a.C. = a, d.C. = b. Trova la lunghezza del segmento PK passante per il punto di intersezione delle diagonali del trapezio parallele alle basi. Quali segmenti è diviso PK per il punto O (Fig. 4)?

Dalla somiglianza dei triangoli AOD e BOC segue che AO/OC = AD/BC = b/a.

Dalla somiglianza dei triangoli AOP e ACB segue che AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Quindi PO = BC b / (a + b) = ab/(a + b).

Allo stesso modo, dalla somiglianza dei triangoli DOK e DBC, segue che OK = ab/(a + b).

Quindi PO = OK e PK = 2ab/(a + b).

Quindi, la proprietà dimostrata può essere formulata come segue: un segmento parallelo alle basi del trapezio, passante per il punto di intersezione delle diagonali e che collega due punti sui lati laterali, è diviso a metà dal punto di intersezione delle diagonali. La sua lunghezza è la media armonica delle basi del trapezio.

Seguente proprietà di quattro punti: in un trapezio, il punto di intersezione delle diagonali, il punto di intersezione della continuazione dei lati, i punti medi delle basi del trapezio giacciono sulla stessa linea.

I triangoli BSC e ASD sono simili (figura 5) e in ciascuna di esse le mediane ST e SG dividono l'angolo al vertice S in parti uguali. Pertanto i punti S, T e G giacciono sulla stessa retta.

Allo stesso modo, i punti T, O e G si trovano sulla stessa linea. Ciò deriva dalla somiglianza dei triangoli BOC e AOD.

Ciò significa che tutti e quattro i punti S, T, O e G giacciono sulla stessa retta.

Puoi anche trovare la lunghezza del segmento che divide il trapezio in due segmenti simili.

Se i trapezi ALFD e LBCF sono simili (figura 6), allora a/LF = LF/b.

Quindi LF = √(ab).

Pertanto, un segmento che divide un trapezio in due trapezi simili ha una lunghezza pari alla media geometrica delle lunghezze delle basi.

Dimostriamolo Proprietà del segmento che divide un trapezio in due aree uguali.

Sia l'area del trapezio S (Fig. 7). h 1 e h 2 sono parti dell'altezza e x è la lunghezza del segmento desiderato.

Allora S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 e

S = (h1 + h2) · (a + b)/2.

Creiamo un sistema

(h1(a+x) = h2(b+x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Risolvendo questo sistema, otteniamo x = √(1/2(a 2 + b 2)).

Così, la lunghezza del segmento che divide il trapezio in due parti uguali è pari a √((a 2 + b 2)/2)(quadrato medio delle lunghezze della base).

Quindi, per il trapezio ABCD con basi AD e BC (BC = a, AD = b) abbiamo dimostrato che il segmento:

1) MN, che congiunge i punti medi dei lati laterali del trapezio, è parallelo alle basi ed è uguale alla loro semisomma (la media aritmetica dei numeri aeb);

2) PK passante per il punto di intersezione delle diagonali del trapezio parallele alle basi è pari a
2ab/(a + b) (media armonica dei numeri aeb);

3) LF, che divide un trapezio in due trapezi simili, ha lunghezza pari alla media geometrica dei numeri aeb, √(ab);

4) EH, che divide un trapezio in due parti uguali, ha lunghezza √((a 2 + b 2)/2) (la radice quadrata media dei numeri a e b).

Segno e proprietà di un trapezio inscritto e circoscritto.

Proprietà del trapezio inscritto: un trapezio può essere inscritto in una circonferenza se e solo se è isoscele.

Proprietà del trapezio descritto. Un trapezio può essere descritto attorno ad una circonferenza se e solo se la somma delle lunghezze delle basi è uguale alla somma delle lunghezze dei lati.

Conseguenze utili del fatto che una circonferenza è inscritta in un trapezio:

1. L'altezza del trapezio circoscritto è pari a due raggi del cerchio inscritto.

2. Il lato del trapezio descritto è visibile dal centro del cerchio inscritto ad angolo retto.

Il primo è ovvio. Per dimostrare il secondo corollario è necessario stabilire che l'angolo COD è retto, il che non è altrettanto difficile. Ma conoscere questo corollario ti consente di utilizzare un triangolo rettangolo per risolvere i problemi.

Specifichiamo Corollari per un trapezio circoscritto isoscele:

L'altezza di un trapezio circoscritto isoscele è la media geometrica delle basi del trapezio
h = 2r = √(ab).

Le proprietà considerate ti permetteranno di comprendere il trapezio più profondamente e di garantire il successo nella risoluzione dei problemi utilizzando le sue proprietà.

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Consideriamo i problemi di base su triangoli simili in un trapezio.

I. Il punto di intersezione delle diagonali di un trapezio è il vertice di triangoli simili.

Consideriamo i triangoli AOD e COB.

La visualizzazione semplifica la risoluzione di problemi come questo. Pertanto, evidenziamo triangoli simili in un trapezio con colori diversi.

1) ∠AOD= ∠ COB (come verticale);

2)∠DAO= ∠ BCO (come trasversalmente interna ad AD ∥ BC e secante AC).

Pertanto, i triangoli AOD e COB sono simili ().

Compito.

Una delle diagonali del trapezio è uguale a 28 cm e divide l'altra diagonale in segmenti di lunghezza 5 cm e 9 cm. Trova i segmenti in cui il punto di intersezione delle diagonali divide la prima diagonale.

AO=9 cm, CO=5 cm, BD=28 cm BO =?, DO- ?

Dimostriamo la somiglianza dei triangoli AOD e COB. Da qui

Seleziona le relazioni richieste:

Sia BO=x cm, quindi DO=28-x cm Pertanto,

BO=10 cm, DO=28-10=18 cm.

Risposta: 10 cm, 18 cm.

Compito

È noto che O è il punto di intersezione delle diagonali del trapezio ABCD (AD ∥ BC). Trova la lunghezza del segmento BO se AO:OC=7:6 e BD=39 cm.

Allo stesso modo, dimostriamo la somiglianza dei triangoli AOD e COB e

Sia BO=x cm, quindi DO=39-x cm. Quindi,

Risposta: 18 cm.

II. I prolungamenti dei lati del trapezio si intersecano in un punto.

Allo stesso modo, consideriamo i triangoli AFD e BFC:

1) ∠ F - generale;

2)∠ DAF=∠ CBF (come gli angoli corrispondenti in BC ∥ AD e secante AF).

Pertanto, i triangoli AFD e BFC sono simili (a due angoli).

Dalla somiglianza dei triangoli ne consegue che i lati corrispondenti sono proporzionali:

Pertanto ne chiameremo uno grande , secondo - piccola base trapezi. Altezza un trapezio può essere chiamato qualsiasi segmento perpendicolare disegnato dai vertici al lato corrispondentemente opposto (per ogni vertice ci sono due lati opposti), racchiuso tra il vertice preso e il lato opposto. Ma possiamo distinguere un “tipo speciale” di altezze.
Definizione 8. L'altezza della base di un trapezio è un segmento di retta perpendicolare alle basi, racchiuso tra le basi.
Teorema 7 . La linea mediana del trapezio è parallela alle basi ed è uguale alla loro semisomma.
Prova. Siano dati il trapezio ABCD e la linea mediana KM. Disegniamo una linea retta che passa per i punti B e M. Continuiamo il lato AD attraverso il punto D finché non si interseca con BM. I triangoli ВСм e МРD hanno i lati uguali e due angoli uguali (SM=MD, ∠ ВСМ=∠ МДР - trasversalmente, ∠ ВСМ=∠ DМР - verticale), quindi ВМ=МР o il punto M è il centro di BP. KM è la linea mediana del triangolo ABP. Secondo la proprietà della linea mediana del triangolo, KM è parallela ad AP e in particolare AD ed è pari alla metà di AP:

Teorema 8 . Le diagonali dividono il trapezio in quattro parti, due delle quali, adiacenti ai lati, hanno la stessa dimensione.
Lascia che ti ricordi che le figure si dicono di dimensioni uguali se hanno la stessa area. I triangoli ABD e ACD hanno la stessa dimensione: hanno la stessa altezza (indicata in giallo) e una base comune. Questi triangoli hanno una parte comune AOD. La loro area può essere scomposta come segue:

Tipi di trapezi:
Definizione 9. (Figura 1) Un trapezio ad angolo acuto è un trapezio i cui angoli adiacenti alla base maggiore sono acuti.
Definizione 10. (Figura 2) Un trapezio ottuso è un trapezio in cui uno degli angoli adiacenti alla base maggiore è ottuso.
Definizione 11. (Figura 4) Un trapezio si dice rettangolare se un lato è perpendicolare alle basi.
Definizione 12. (Figura 3) Un isoscele (isoscele, isoscele) è un trapezio i cui lati sono uguali.

Proprietà di un trapezio isoscele:
Teorema 10 . In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono uguali.
Prova. Dimostriamo, ad esempio, l'uguaglianza degli angoli A e D per la base maggiore AD del trapezio isoscele ABCD. A questo scopo tracciamo una linea retta passante per il punto C parallela al lato AB. Intersecherà la base grande nel punto M. Il quadrilatero ABCM è un parallelogramma, perché per costruzione ha due paia di lati paralleli. Di conseguenza il segmento CM di una secante racchiusa all'interno del trapezio è uguale al suo lato: CM = AB. Da qui è chiaro che CM = CD, il triangolo CMD è isoscele, ∠ CMD = ∠ CDM, e quindi ∠ A = ∠ D. Anche gli angoli adiacenti alla base minore sono uguali, perché sono interni unilaterali per quelli trovati e hanno due righe in totale.
Teorema 11 . Le diagonali di un trapezio isoscele sono uguali.
Prova. Consideriamo i triangoli ABD e ACD. Sono uguali su due lati e l'angolo compreso tra loro (AB=CD, AD è comune, gli angoli A e D sono uguali secondo il Teorema 10). Quindi AC=BD.

Teorema 13 . Le diagonali di un trapezio isoscele sono divise in segmenti corrispondentemente uguali dal punto di intersezione. Consideriamo i triangoli ABD e ACD. Sono uguali su due lati e l'angolo compreso tra loro (AB=CD, AD è comune, gli angoli A e D sono uguali secondo il Teorema 10). Pertanto, ∠ OAD=∠ ODA, quindi gli angoli OBC e OCB sono uguali, poiché si intersecano rispettivamente per gli angoli ODA e OAD. Ricordiamo il teorema: se due angoli in un triangolo sono uguali, allora è isoscele, quindi i triangoli OBC e OAD sono isosceli, il che significa OC=OB e OA=OD, ecc.
Un trapezio equilatero è una figura simmetrica.
Definizione 13. L'asse di simmetria di un trapezio isoscele è la retta passante per i punti medi delle sue basi.
Teorema 14 . L'asse di simmetria di un trapezio isoscele è perpendicolare alle sue basi.
Nel Teorema 9 abbiamo dimostrato che la retta che collega i punti medi delle basi del trapezio passa per il punto di intersezione delle diagonali. Successivamente (Teorema 13) abbiamo dimostrato che i triangoli AOD e BOC sono isosceli. OM e OK sono rispettivamente le mediane di questi triangoli per definizione. Ricordiamo la proprietà di un triangolo isoscele: la mediana di un triangolo isoscele, abbassata alla base, è anche l'altezza del triangolo. A causa della perpendicolarità delle parti della retta CM alle basi, l'asse di simmetria è perpendicolare alle basi.
Segni che distinguono un trapezio isoscele da tutti i trapezi:
Teorema 15 . Se gli angoli adiacenti ad una delle basi di un trapezio sono uguali, allora il trapezio è isoscele.
Teorema 16 . Se le diagonali di un trapezio sono uguali allora il trapezio è isoscele.
Teorema 17 . Se i lati laterali di un trapezio, estesi fino ad intersecarsi, formano, insieme alla sua base grande, un triangolo isoscele, allora il trapezio è isoscele.
Teorema 18 . Se un trapezio può essere inscritto in una circonferenza allora è isoscele.
Segno di un trapezio rettangolo:
Teorema 19 . Qualsiasi quadrilatero che abbia solo due angoli retti con vertici adiacenti è un trapezio rettangolo (ovviamente due lati sono paralleli, poiché quelli unilaterali sono uguali. Nel caso in cui tre angoli retti siano un rettangolo)
Teorema 20 . Il raggio di una circonferenza inscritta in un trapezio è pari alla metà dell'altezza della base.
La dimostrazione di questo teorema consiste nello spiegare che i raggi tracciati verso le basi giacciono all'altezza del trapezio. Dal punto O, il centro del cerchio ABCD inscritto in un dato trapezio, tracciamo i raggi fino ai punti in cui le basi del trapezio lo toccano. Come è noto il raggio tracciato al punto di tangenza è perpendicolare alla tangente, quindi OK^ BC e OM^ AD. Ricordiamo il teorema: se una linea è perpendicolare a una delle rette parallele, allora è perpendicolare anche alla seconda. Ciò significa che anche la linea OK è perpendicolare ad AD. Quindi per il punto O passano due rette perpendicolari alla retta AD, che non possono essere, quindi queste rette coincidono e costituiscono una perpendicolare comune KM, che è uguale alla somma di due raggi ed è il diametro del cerchio inscritto, quindi r= KM/2 o r=h/2.
Teorema 21 . L'area di un trapezio è uguale al prodotto della metà della somma delle basi per l'altezza delle basi.

Prova: Sia ABCD un trapezio dato, e AB e CD le sue basi. Sia anche AH l'altezza abbassata dal punto A alla linea CD. Allora S ABCD = S ACD + S ABC.
Ma S ACD = 1/2AH·CD e S ABC = 1/2AH·AB.
Pertanto, S ABCD = 1/2AH·(AB + CD).
Q.E.D.