ხისტი სხეულის სიმძიმის ცენტრი. სიმძიმის ცენტრის პოვნის მეთოდები. მყარი სხეულის სიმძიმის ცენტრი და მისი პოზიციის პოვნის მეთოდები მასის განაწილება ადამიანის სხეულში

არქიმედესის პირველი აღმოჩენა მექანიკაში იყო სიმძიმის ცენტრის ცნების შემოღება, ე.ი. მტკიცებულება იმისა, რომ ნებისმიერ სხეულში არის ერთი წერტილი, სადაც მისი წონა შეიძლება იყოს კონცენტრირებული წონასწორობის მდგომარეობის დარღვევის გარეშე.

სხეულის სიმძიმის ცენტრი არის მყარი სხეულის წერტილი, რომლის მეშვეობითაც ამ სხეულის ელემენტარულ მასებზე მოქმედი ყველა გრავიტაციული ძალის შედეგი გადის სივრცეში ნებისმიერ პოზიციაზე.

მექანიკური სისტემის სიმძიმის ცენტრიარის წერტილი, რომლის მიმართაც სისტემის ყველა სხეულზე მოქმედი სიმძიმის მთლიანი მომენტი ნულის ტოლია.

მარტივად რომ ვთქვათ, სიმძიმის ცენტრი- ეს ის წერტილია, რომელზეც ვრცელდება მიზიდულობის ძალა, მიუხედავად თავად სხეულის პოზიციისა. თუ სხეული ერთგვაროვანია, სიმძიმის ცენტრიჩვეულებრივ მდებარეობს სხეულის გეომეტრიულ ცენტრში. ამრიგად, ერთგვაროვან კუბში ან ერთგვაროვან ბურთში სიმძიმის ცენტრი ემთხვევა ამ სხეულების გეომეტრიულ ცენტრს.

სხეულის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები შეიძლება განისაზღვროს ფორმულების გამოყენებით (ნახ. 7.1):

, , ,

სად - სხეულის წონა x i, y მე, z i- ელემენტარული ნაწილაკების კოორდინატები, წონა P i;.

სხეულის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატების განსაზღვრის ფორმულები ზუსტია, მკაცრად რომ ვთქვათ, მხოლოდ მაშინ, როდესაც სხეული იყოფა უსასრულოდ მცირე ელემენტარული ნაწილაკების წონაში. P i. თუ ნაწილაკების რაოდენობა, რომლებზეც სხეული იყოფა გონებრივად სასრულია, მაშინ ზოგადად ეს ფორმულები იქნება მიახლოებითი, რადგან კოორდინატები x i, y i, z iამ შემთხვევაში, მათი დადგენა შესაძლებელია მხოლოდ ნაწილაკების ზომის სიზუსტით. რაც უფრო პატარაა ეს ნაწილაკები, მით უფრო მცირე შეცდომას დავუშვებთ სიმძიმის ცენტრის კოორდინატების გამოთვლისას. ზუსტი გამონათქვამების მიღწევა შესაძლებელია მხოლოდ ზღვარზე გადასვლის შედეგად, როდესაც თითოეული ნაწილაკის ზომა ნულისკენ მიისწრაფვის და მათი რიცხვი განუსაზღვრელი ვადით იზრდება. როგორც ცნობილია, ასეთ ზღვარს განსაზღვრული ინტეგრალი ეწოდება. მაშასადამე, სხეულების სიმძიმის ცენტრების კოორდინატების ფაქტობრივი განსაზღვრა ზოგად შემთხვევაში მოითხოვს ჯამების ჩანაცვლებას მათი შესაბამისი ინტეგრალებით და ინტეგრალური გამოთვლების მეთოდების გამოყენებას.

თუ მასა მყარი სხეულის ან მექანიკური სისტემის შიგნით არაერთგვაროვნად ნაწილდება, მაშინ სიმძიმის ცენტრი გადადის იმ ნაწილზე, სადაც ის უფრო მძიმეა.

სხეულის სიმძიმის ცენტრი შეიძლება ყოველთვის არ იყოს განთავსებული სხეულის შიგნით. მაგალითად, ბუმერანგის სიმძიმის ცენტრი სადღაც შუაშია ბუმერანგის ბოლოებს შორის, მაგრამ თავად ბუმერანგის სხეულის გარეთ.

ტვირთის დამაგრებისთვის ძალზე მნიშვნელოვანია სიმძიმის ცენტრის პოზიცია. სწორედ ამ დროს გამოიყენება სიმძიმის ძალები და ინერციული ძალები, რომლებიც მოქმედებენ დატვირთვაზე მოძრაობის დროს. რაც უფრო მაღალია სხეულის ან მექანიკური სისტემის სიმძიმის ცენტრი, მით უფრო მიდრეკილია იგი გადახრისკენ.

სხეულის სიმძიმის ცენტრი ემთხვევა მასის ცენტრს.

ავირჩიოთ ელემენტარული მოცულობა dV=dx dy dz არაერთგვაროვან მყარში (სურ. 5.3). არჩეული ელემენტის წონა იქნება , სადაც არის კონკრეტული სიმძიმე სხეულის წერტილში შესაბამისი კოორდინატებით.

ელემენტების წონები ქმნიან ძალების სისტემას აპლიკაციური ღერძის პარალელურად. შედეგიანი მოდული

ელემენტის წონა ეწოდება წონახისტი სხეული და შედეგის გამოყენების გეომეტრიული წერტილი არის სიმძიმის ცენტრიმყარი სხეული. ამ რაოდენობების გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულებს (5.1) და (5.4) და ვცვლით მათში შეჯამებას მოცულობითი ინტეგრაციით, ე.ი.

(5.8) ფორმულის მრიცხველში არსებულ რაოდენობას ეწოდება ხისტი სხეულის წონის სტატიკური მომენტი კოორდინატულ სიბრტყესთან მიმართებაში.

ცხადია, ერთგვაროვანი სხეულისთვის ფორმულა (5.8) იღებს ფორმას

გამოთვლების ფორმულების სტრუქტურა მსგავსია.

ამ შემთხვევაში, მყარი სხეულის სიმძიმის ცენტრი ემთხვევა მისი მოცულობის ცენტრს.

თუ მყარი სხეულის ერთ-ერთი განზომილება დანარჩენ ორზე მნიშვნელოვნად მცირეა, სხეული ეწოდება მძიმე ზედაპირი. ზედაპირის ფართობის ერთეულზე მუდმივი წონით, ის ერთგვაროვანია. სიმძიმის ცენტრის წონისა და კოორდინატების გამოთვლის ფორმულები მიიღება (5.7) - (5.9)-დან მოცულობით ინტეგრალების ზედაპირზე ინტეგრალებით ჩანაცვლებით. ზოგიერთ შემთხვევაში ზედაპირი შეიძლება იყოს ბრტყელი.

თუ მყარი სხეულის ორი განზომილება მნიშვნელოვნად მცირეა მესამეზე, სხეული ეწოდება მძიმე ხაზი. ხაზის სიგრძის ერთეულზე მუდმივი წონით, ის ერთგვაროვანია. სიმძიმის ცენტრის წონისა და კოორდინატების გამოთვლის ფორმულები მიიღება (5.7) – (5.9)-დან მოცულობითი ინტეგრალების მრუდისხაზოვანი ინტეგრალებით ჩანაცვლებით. ზოგიერთ შემთხვევაში, ხაზი შეიძლება იყოს სწორი.

თუ ერთგვაროვან მყარ სხეულს აქვს სიმეტრიის სიბრტყე, მაშინ სხეულის სიმძიმის ცენტრი დევს ამ სიბრტყეში (სიმეტრიის სიბრტყის მიმართ ელემენტარული წონის ძალების სტატიკური მომენტების ჯამი არის ნული).

თუ ერთგვაროვან მყარ სხეულს აქვს სიმეტრიის ორი სიბრტყე, მაშინ სხეულის სიმძიმის ცენტრი მიეკუთვნება ამ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს.

თუ ერთგვაროვან მყარ სხეულს აქვს სამი სიმეტრიის სიბრტყე, მაშინ სხეულის სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს მათი გადაკვეთის წერტილში.

თუ ხისტი სხეული შეიძლება გონებრივად დაიყოს ელემენტებად, რომელთა წონა და სიმძიმის ცენტრების პოზიციები ცნობილია, მაშინ ხისტი სხეულის წონა და მისი სიმძიმის ცენტრის პოზიცია შეიძლება გამოითვალოს ფორმულების გამოყენებით (5.1) და (5.4). მაგალითად, გამოითვლება მშენებარე გემის სიმძიმის ცენტრის წონა და კოორდინატები.

თუ სხეულს აქვს ამონაჭრები, მაშინ ისინი შეიძლება ჩაითვალოს უარყოფითი წონის ელემენტებად.

გაითვალისწინეთ, რომ საინჟინრო საცნობარო ლიტერატურაში არის საკმაოდ დიდი რაოდენობით ერთგვაროვანი ელემენტები (მოცულობითი, ბრტყელი და მრუდი), რისთვისაც გამოითვლება სიმძიმის ცენტრების წონა და პოზიციები. ქვემოთ მოყვანილი ცხრილი გვიჩვენებს ზოგიერთ მათგანს.

ზოგიერთ სიტუაციაში, ხისტი სხეულის სიმძიმის ცენტრის პოზიცია შეიძლება მოიძებნოს ექსპერიმენტის შედეგებიდან. მაგალითად, სხეულის ძაფზე დაკიდებისას, მისი სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს ძაფის ხაზზე. სხეულის სხვა წერტილით დაკიდებით, რომელიც არ დევს პირველ ხაზზე, ვპოულობთ სხეულის სიმძიმის ცენტრის პოზიციას, როგორც ორი წრფის გადაკვეთის წერტილს. გაფართოებული სხეულების სიმძიმის ცენტრის პოვნის კიდევ ერთი მეთოდი არის ე.წ. მისი დადება პარალელური პირებით „დანებზე“. როდესაც "დანები" ერთმანეთს ხვდებიან, სხეულის სიმძიმის ცენტრი რჩება მათ შორის და, ლიმიტში, მთავრდება პირების დამთხვევის ხაზზე.

საინჟინრო პრაქტიკაში, მეთოდები, რომლებიც წარმოადგენს გამოთვლისა და ექსპერიმენტის ერთობლიობას, შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხეულის სიმძიმის ცენტრის პოზიციის დასადგენად. მაგალითად, მოვიყვანოთ თვითმფრინავის სიმძიმის ცენტრის მანძილის გაანგარიშება, რომელიც ნაჩვენებია ნახ. 5.4-ზე, მისი წინა ბორბლიდან.

სურათზე: D არის დინამომეტრი, რომელიც გვიჩვენებს წინა ბორბლის ნორმალური წნევის ძალის სიდიდეს, P არის თვითმფრინავის წონა, არის მანძილი წინა ბორბლიდან უკანა ბორბლების ღერძამდე.

ცხადია, ინტერესის მანძილი წინა ბორბლიდან თვითმფრინავის წონის ძალის ხაზამდე შეიძლება მივიღოთ ძალების და P მომენტების ჯამის განტოლებიდან უკანა ბორბლების ღერძის გარშემო, როგორც

შენიშვნა: თუ თვითმფრინავის წონა P არ არის ცნობილი, მაშინ დინამომეტრი D უკანა ბორბლების ქვეშ გადაადგილებით, შეგიძლიათ მიიღოთ ნორმალური წნევის ძალის მნიშვნელობა. მაშინ

მაგალითი 5.1. ერთგვაროვანი ფირფიტისთვის, რომელსაც აქვს წრიული სექტორის ფორმა მწვერვალზე 2 კუთხით (იხ. სურ. 5.5), იპოვეთ ფირფიტის სიმძიმის ცენტრის პოზიცია.

დავხატოთ x ღერძი ისე, რომ იყოს კუთხის 2-ის ბისექტორი. მაშინ სიმეტრიის გამო სიმძიმის ცენტრის ორდინატი ნულის ტოლია, ე.ი. .

ორი რადიუსის გამოყენებით, რომელთა შორის არის ელემენტარული კუთხე, ჩვენ ვირჩევთ ელემენტს ფირფიტაზე, რომლის ფართობი დაახლოებით ტოლია ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობის.

არჩეული სამკუთხა ელემენტის სიმძიმის ცენტრის აბსციზა უდრის.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ავაშენოთ გამოხატულება წრიული სექტორის სიმძიმის ცენტრის აბსცისის გამოსათვლელად, როგორც

შენიშვნა: გაანგარიშებისას მხედველობაში მიიღეს, რომ ერთგვაროვანი ბრტყელი სხეულის სიმძიმის ცენტრს აქვს იგივე კოორდინატები სიბრტყეზე, როგორც შესაბამისი ბრტყელი ფიგურის.

მაგალითი 5.2. რთული ფორმის თხელი ჰომოგენური ფირფიტისთვის, რომლის ზომები მითითებულია ნახ. 5.6-ში, იპოვეთ სიმძიმის ცენტრის პოზიცია.

მოდით გონებრივად დავყოთ ფირფიტა სამ ელემენტად: მართკუთხედი, სამკუთხედი და წრე. თითოეული ელემენტისთვის ვპოულობთ სიმძიმის ცენტრის ფართობს და კოორდინატებს:

შემდეგ ფირფიტისთვის, სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები შეიძლება გამოითვალოს ფორმულების გამოყენებით:

გაანგარიშებისას ხვრელი განიხილებოდა, როგორც უარყოფითი წონის წრის მიმაგრება.

სიმძიმის ცენტრი

გეომეტრიული წერტილი უცვლელად ასოცირებული მყარ სხეულთან, რომლის მეშვეობითაც ამ სხეულის ნაწილაკებზე მოქმედი ყველა გრავიტაციული ძალის შედეგი გადის ამ უკანასკნელის ნებისმიერ პოზიციაზე სივრცეში; ის შეიძლება არ ემთხვეოდეს მოცემული სხეულის რომელიმე წერტილს (მაგალითად, რგოლთან). თუ თავისუფალი სხეული დაკიდებულია ძაფებზე, რომლებიც თანმიმდევრულად არის მიმაგრებული სხეულის სხვადასხვა წერტილზე, მაშინ ამ ძაფების მიმართულებები იკვეთება სხეულის ცენტრში. მყარი სხეულის მასის ცენტრის პოზიცია სიმძიმის ერთგვაროვან ველში ემთხვევა მისი მასის ცენტრის პოზიციას (იხ. მასის ცენტრი). სხეულის დაშლა წონებით pk,რისთვისაც კოორდინატები x k, y k, z kმათი ცენტრის წერტილები ცნობილია, შეგიძლიათ იპოვოთ მთელი სხეულის ცენტრის წერტილის კოორდინატები ფორმულების გამოყენებით:

დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. 1969-1978 .

ნახეთ, რა არის „სიმძიმის ცენტრი“ სხვა ლექსიკონებში:

მასის ცენტრი (ინერციის ცენტრი, ბარიცენტრი) მექანიკაში არის გეომეტრიული წერტილი, რომელიც ახასიათებს სხეულის მოძრაობას ან მთლიანად ნაწილაკების სისტემას. სარჩევი 1 განმარტება 2 ერთგვაროვანი ფიგურების მასის ცენტრები 3 მექანიკაში ... ვიკიპედია

წერტილი უცვლელად ასოცირდება მყარ სხეულთან, რომლის მეშვეობითაც ამ სხეულის ნაწილაკებზე მოქმედი გრავიტაციული ძალების შედეგი გადის სხეულის ნებისმიერ პოზიციაზე სივრცეში. ერთგვაროვანი სხეულისთვის, რომელსაც აქვს სიმეტრიის ცენტრი (წრე, ბურთი, კუბი და ა.შ.),... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

გეომ. წერტილი, რომელიც უცვლელად ასოცირდება მყარ სხეულთან, რომლის მეშვეობითაც სხეულის ნაწილაკებზე მოქმედი ყველა გრავიტაციული ძალის შედეგად მიღებული ძალა გადის მასში ნებისმიერ ადგილას სივრცეში; ის შეიძლება არ ემთხვეოდეს მოცემული სხეულის რომელიმე წერტილს (მაგალითად, ... ... ფიზიკური ენციკლოპედია

წერტილი, რომელიც უცვლელად ასოცირდება მყარ სხეულთან, რომლის მეშვეობითაც ამ სხეულის ნაწილაკებზე მოქმედი გრავიტაციული ძალების შედეგი გადის სხეულის ნებისმიერ პოზიციაზე სივრცეში. ერთგვაროვანი სხეულისთვის, რომელსაც აქვს სიმეტრიის ცენტრი (წრე, ბურთი, კუბი და ა.შ.),... ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

სიმძიმის ცენტრი- გრავიტაციის ცენტრი, წერტილი, რომლის მეშვეობითაც გადის მყარი სხეულის ნაწილაკებზე მოქმედი მიზიდულობის ძალების შედეგი სხეულის ნებისმიერ პოზიციაზე სივრცეში. ერთგვაროვანი სხეულისთვის, რომელსაც აქვს სიმეტრიის ცენტრი (წრე, ბურთი, კუბი და ა.შ.), სიმძიმის ცენტრი არის ... ილუსტრირებული ენციკლოპედიური ლექსიკონი

სიმძიმის ცენტრი, წერტილი, სადაც სხეულის წონაა კონცენტრირებული და რომლის ირგვლივ ნაწილდება და დაბალანსებულია მისი წონა. თავისუფლად დავარდნილი ობიექტი ბრუნავს თავისი სიმძიმის ცენტრის გარშემო, რომელიც თავის მხრივ ბრუნავს ტრაექტორიის გასწვრივ, რომელიც აღწერილი იქნება წერტილით... ... სამეცნიერო და ტექნიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი

სიმძიმის ცენტრი- მყარი სხეული; სიმძიმის ცენტრი სხეულის ყველა ნაწილაკზე მოქმედი პარალელური გრავიტაციული ძალების ცენტრი... პოლიტექნიკური ტერმინოლოგიური განმარტებითი ლექსიკონი

რუსული სინონიმების ცენტრალური ლექსიკონი. სიმძიმის ცენტრი არსებითი სახელი, სინონიმების რაოდენობა: 12 მთავარი (31) სული ... სინონიმების ლექსიკონი

გრავიტაციის ცენტრი- ადამიანის ორგანიზმს არ აქვს მუდმივი ანატომია. მდებარეობა სხეულის შიგნით და მოძრაობს პოზის ცვლილებების მიხედვით; მისი ექსკურსიები ხერხემალთან მიმართებაში შეიძლება მიაღწიოს 20-25 სმ-ს მთელი სხეულის ცენტრალური ნერვული სისტემის პოზიციის ექსპერიმენტული განსაზღვრა... ... დიდი სამედიცინო ენციკლოპედია

ყველა ცალკეული ნაწილის (ნაწილის) მიზიდულობის ძალების (წონის) გამოყენების წერტილი, რომლებიც ქმნიან მოცემულ სხეულს. თუ სხეული სიმეტრიულია სიბრტყის, სწორი ხაზის ან წერტილის მიმართ, მაშინ პირველ შემთხვევაში სიმძიმის ცენტრი დევს სიმეტრიის სიბრტყეში, მეორეში - ... ... ტექნიკური რკინიგზის ლექსიკონი

სიმძიმის ცენტრი- მყარი სხეულის გეომეტრიული წერტილი, რომლის მეშვეობითაც ამ სხეულის ნაწილაკებზე მოქმედი ყველა გრავიტაციული ძალის შედეგი გადის სივრცეში ნებისმიერ პოზიციაზე [კონსტრუქციის ტერმინოლოგიური ლექსიკონი 12 ენაზე (VNIIIS Gosstroy... ... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

წიგნები

• სიმძიმის ცენტრი, ალექსეი პოლიარინოვის რომანი წააგავს ტბების რთულ სისტემას. ის შეიცავს კიბერპანკს და დევიდ მიტჩელის, ბორხესის და დევიდ ფოსტერ უოლასის დიდებულ დიზაინებს... მაგრამ მისი გმირები ახალგაზრდა ჟურნალისტები არიან...

თუ მყარი სხეული მდებარეობს დედამიწის ზედაპირთან ახლოს, მაშინ გრავიტაცია ვრცელდება ამ სხეულის თითოეულ მატერიალურ წერტილზე. უფრო მეტიც, სხეულის ზომები იმდენად მცირეა დედამიწის ზომასთან შედარებით, რომ სხეულის ყველა ნაწილაკზე მოქმედი მიზიდულობის ძალები შეიძლება ჩაითვალოს ერთმანეთის პარალელურად.

ცენტრი (პუნქტი თან) სხეულის ყველა წერტილში პარალელური გრავიტაციული ძალების სისტემა ეწოდება ხისტი სხეულის სიმძიმის ცენტრი , და მისი ყველა მატერიალური წერტილის გრავიტაციული ძალების ჯამი ეწოდება გრავიტაცია , მოქმედებს მასზე

მყარი სხეულის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:

სადაც არის სიმძიმის ძალების მოქმედების წერტილების კოორდინატები კმატერიალური წერტილი.

ერთგვაროვანი სხეულისთვის:

სადაც V არის მთელი სხეულის მოცულობა;

ვ კ- მოცულობა კ-ე ნაწილაკები.

ერთიანი თხელი ფირფიტისთვის:

სადაც S არის ფირფიტის ფართობი;

ს კ –კვადრატი კ-ოჰ, ფირფიტის ნაწილი.

ხაზისთვის:

სად ლ- მთელი ხაზის სიგრძე;

ლკ- სიგრძე კ- ხაზის ნაწილი.

სხეულების სიმძიმის ცენტრების კოორდინატების განსაზღვრის მეთოდები:

თეორიული

სიმეტრია.თუ ერთგვაროვან სხეულს აქვს სიმეტრიის სიბრტყე, ღერძი ან ცენტრი, მაშინ მისი სიმძიმის ცენტრი დევს, შესაბამისად, სიმეტრიის სიბრტყეში, ან ღერძზე, ან სიმეტრიის ცენტრში.

გაყოფა.თუ სხეული შეიძლება დაიყოს ასეთ ნაწილებად სასრულ რაოდენობად, რომელთაგან თითოეულისთვის ცნობილია სიმძიმის ცენტრის პოზიცია, მაშინ მთელი სხეულის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები შეიძლება პირდაპირ გამოითვალოს ზემოთ მოცემული ფორმულების გამოყენებით.

დამატება.ეს მეთოდი არის დანაყოფის მეთოდის განსაკუთრებული შემთხვევა. ეს ეხება სხეულებს, რომლებსაც აქვთ ამონაჭრები, თუ ცნობილია სხეულის სიმძიმის ცენტრები ამოკვეთის გარეშე და ამოჭრილი ნაწილი. ისინი ჩართულია გამოთვლებში "-" ნიშნით.

ინტეგრაცია. როდესაც სხეული არ შეიძლება დაიყოს კომპონენტებად, რომელთა სიმძიმის ცენტრები ცნობილია, გამოიყენება ინტეგრაციის მეთოდი, რომელიც უნივერსალურია.

ექსპერიმენტული

ჩამოკიდების მეთოდი.სხეული შეჩერებულია ორი ან სამი წერტილიდან, მათგან ვერტიკალური ხაზების დახატვა. მათი გადაკვეთის წერტილი არის მასის ცენტრი.

აწონვის მეთოდი. სხეული მოთავსებულია სხვადასხვა ნაწილში სასწორზე, რითაც განსაზღვრავს დამხმარე რეაქციებს. შედგენილია წონასწორობის განტოლებები, საიდანაც დგინდება სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები.

თეორიული მეთოდების გამოყენებით, ფორმულები განსაზღვრისათვის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები ყველაზე გავრცელებული ერთგვაროვანი სხეულები:

წრის რკალი