การออกเดทและความรัก

พิสูจน์ว่าความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นขนานกัน สี่เหลี่ยมคางหมูคืออะไร? คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

\[(\Large(\text(สี่เหลี่ยมคางหมูอิสระ)))\]

คำจำกัดความ

สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนซึ่งมีด้านสองด้านขนานกัน และอีกสองด้านไม่ขนานกัน

ด้านขนานของสี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าฐาน และอีกสองด้านเรียกว่าด้านข้าง

ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดใดๆ ของฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่ง

ทฤษฎีบท: คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู

1) ผลรวมของมุมที่ด้านข้างคือ \(180^\circ\)

2) เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสามเหลี่ยมสี่รูป โดยสองรูปคล้ายกัน และอีกสองรูปมีขนาดเท่ากัน

การพิสูจน์

1) เพราะ \(AD\parallel BC\) ดังนั้นมุม \(\angle BAD\) และ \(\angle ABC\) จะเป็นด้านเดียวสำหรับเส้นเหล่านี้และเส้นตัดขวาง \(AB\) ดังนั้น \(\มุม BAD +\มุม ABC=180^\circ\).

2) เพราะ \(AD\parallel BC\) และ \(BD\) เป็นเส้นตัด จากนั้น \(\angle DBC=\angle BDA\) อยู่ในแนวขวาง
นอกจากนี้ \(\angle BOC=\angle AOD\) เป็นแนวตั้งด้วย
ดังนั้นในสองมุม \(\สามเหลี่ยม BOC \sim \สามเหลี่ยม AOD\).

มาพิสูจน์กัน \(S_(\สามเหลี่ยม AOB)=S_(\สามเหลี่ยม COD)\)- ให้ \(h\) เป็นความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู แล้ว \(S_(\สามเหลี่ยม ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\สามเหลี่ยม ACD)\)- แล้ว: \

คำนิยาม

เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้าง

ทฤษฎีบท

เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐานและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง

การพิสูจน์*

1) มาพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน

ให้เราลากผ่านจุด \(M\) เส้นตรง \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ) จากนั้นตามทฤษฎีบทของทาลีส (ตั้งแต่ \(MN"\โฆษณาขนาน\ขนาน BC, AM=MB\)) จุด \(N"\) อยู่ตรงกลางของส่วน \(CD\) ซึ่งหมายความว่าจุด \(N\) และ \(N"\) จะตรงกัน

2) มาพิสูจน์สูตรกัน

\(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) มาทำกัน อนุญาต \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

จากนั้น ตามทฤษฎีบทของทาเลส \(M"\) และ \(N"\) คือจุดกึ่งกลางของส่วน \(BB"\) และ \(CC"\) ตามลำดับ ซึ่งหมายความว่า \(MM"\) คือเส้นกลางของ \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) คือเส้นกลางของ \(\triangle DCC"\) นั่นเป็นเหตุผล: \

เพราะ \(MN\โฆษณาขนาน\BC ขนาน\)และ \(BB", CC"\perp AD\) จากนั้น \(B"M"N"C"\) และ \(BM"N"C\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ตามทฤษฎีบทของทาเลส จาก \(MN\parallel AD\) และ \(AM=MB\) ตามนั้น \(B"M"=M"B\) ดังนั้น \(B"M"N"C "\) และ \(BM"N"C\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน ดังนั้น \(M"N"=B"C"=BC\)

ดังนั้น:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

ทฤษฎีบท: คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูตามอำเภอใจ

จุดกึ่งกลางของฐาน, จุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูและจุดตัดของส่วนขยายของด้านข้างอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

การพิสูจน์*
ขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับข้อพิสูจน์หลังจากศึกษาหัวข้อ “ความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยม” แล้ว

1) ให้เราพิสูจน์ว่าจุด \(P\) , \(N\) และ \(M\) อยู่บนบรรทัดเดียวกัน

ลองวาดเส้นตรง \(PN\) (\(P\) คือจุดตัดของส่วนขยายของด้านข้าง \(N\) คือจุดกึ่งกลางของ \(BC\)) ปล่อยให้มันตัดกันด้าน \(AD\) ที่จุด \(M\) ให้เราพิสูจน์ว่า \(M\) เป็นจุดกึ่งกลางของ \(AD\)

พิจารณา \(\triangle BPN\) และ \(\triangle APM\) พวกมันคล้ายกันที่มุมสองมุม (\(\angle APM\) – ทั่วไป, \(\angle PAM=\angle PBN\) ซึ่งสอดคล้องกันที่ \(AD\parallel BC\) และ \(AB\) ซีแคนต์) วิธี: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

พิจารณา \(\triangle CPN\) และ \(\triangle DPM\) พวกมันคล้ายกันที่มุมสองมุม (\(\มุม DPM\) – ทั่วไป, \(\มุม PDM=\มุม PCN\) ซึ่งสอดคล้องกันที่ \(AD\ขนาน BC\) และ \(CD\) ซีแคนต์) วิธี: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

จากที่นี่ \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\)- แต่ \(BN=NC\) ดังนั้น \(AM=DM\)

2) ให้เราพิสูจน์ว่าจุด \(N, O, M\) อยู่บนเส้นเดียวกัน

ให้ \(N\) เป็นจุดกึ่งกลางของ \(BC\) และ \(O\) เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม ลองวาดเส้นตรง \(NO\) กัน มันจะตัดด้าน \(AD\) ที่จุด \(M\) ให้เราพิสูจน์ว่า \(M\) เป็นจุดกึ่งกลางของ \(AD\)

\(\สามเหลี่ยม BNO\sim \สามเหลี่ยม DMO\)ตามมุมสองมุม (\(\angle OBN=\angle ODM\) วางขวางที่ \(BC\parallel AD\) และ \(BD\) เซแคนต์; \(\angle BON=\angle DOM\) เป็นแนวตั้ง) วิธี: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

เช่นเดียวกัน \(\สามเหลี่ยม CON\ซิม \สามเหลี่ยม AOM\)- วิธี: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

จากที่นี่ \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\)- แต่ \(BN=CN\) ดังนั้น \(AM=MD\)

\[(\Large(\text(สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว)))\]

คำจำกัดความ

สี่เหลี่ยมคางหมูจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้ามุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง

สี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าหน้าจั่วถ้าด้านเท่ากัน

ทฤษฎีบท: คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

1) สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีมุมฐานเท่ากัน

2) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเท่ากัน

3) สามเหลี่ยมสองรูปที่เกิดจากเส้นทแยงมุมและฐานเป็นหน้าจั่ว

การพิสูจน์

1) พิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว \(ABCD\)

จากจุดยอด \(B\) และ \(C\) เราปล่อยตั้งฉาก \(BM\) และ \(CN\) ไปทางด้าน \(AD\) ตามลำดับ เนื่องจาก \(BM\perp AD\) และ \(CN\perp AD\) ดังนั้น \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) ดังนั้น \(MBCN\) จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น \(BM = CN\)

พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก \(ABM\) และ \(CDN\) เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากัน และขา \(BM\) เท่ากับขา \(CN\) ดังนั้น สามเหลี่ยมเหล่านี้จึงเท่ากัน ดังนั้น \(\angle DAB = \angle CDA\)

เพราะ \(AB=ซีดี, \มุม A=\มุม D, AD\)– ทั่วไปแล้วตามป้ายแรก ดังนั้น \(AC=BD\)

3) เพราะ \(\สามเหลี่ยม ABD=\สามเหลี่ยม ACD\)จากนั้น \(\angle BDA=\angle CAD\) ดังนั้น สามเหลี่ยม \(\triangle AOD\) จึงเป็นหน้าจั่ว ในทำนองเดียวกัน มีการพิสูจน์ว่า \(\triangle BOC\) เป็นหน้าจั่ว

ทฤษฎีบท: สัญญาณของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

1) ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูมีมุมฐานเท่ากัน แสดงว่าเป็นหน้าจั่ว

2) ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นทแยงมุมเท่ากัน แสดงว่าเป็นหน้าจั่ว

การพิสูจน์

พิจารณารูปสี่เหลี่ยมคางหมู \(ABCD\) โดยที่ \(\angle A = \angle D\)

มาทำสี่เหลี่ยมคางหมูกับสามเหลี่ยม \(AED\) ให้สมบูรณ์ดังแสดงในรูป เนื่องจาก \(\angle 1 = \angle 2\) ดังนั้นรูปสามเหลี่ยม \(AED\) จึงเป็นหน้าจั่วและ \(AE = ED\) มุม \(1\) และ \(3\) เท่ากับมุมที่สอดคล้องกันสำหรับเส้นคู่ขนาน \(AD\) และ \(BC\) และเส้นตัดขวาง \(AB\) ในทำนองเดียวกัน มุม \(2\) และ \(4\) เท่ากัน แต่ \(\angle 1 = \angle 2\) แล้ว \(\มุม 3 = \มุม 1 = \มุม 2 = \มุม 4\)ดังนั้น สามเหลี่ยม \(BEC\) จึงเป็นหน้าจั่วและ \(BE = EC\) เช่นกัน

ในท้ายที่สุด \(AB = AE - BE = DE - CE = ซีดี\)นั่นคือ \(AB = CD\) ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

2) ให้ \(AC=BD\) . เพราะ \(\สามเหลี่ยม AOD\sim \สามเหลี่ยม BOC\)จากนั้นเราจะแสดงค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกันเป็น \(k\) แล้วถ้า \(BO=x\) แล้ว \(OD=kx\) คล้ายกับ \(CO=y \Rightarrow AO=ky\)

เพราะ \(AC=BD\) แล้ว \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) ซึ่งหมายความว่า \(\triangle AOD\) เป็นหน้าจั่วและ \(\angle OAD=\angle ODA\)

ดังนั้นตามสัญญาณแรก \(\สามเหลี่ยม ABD=\สามเหลี่ยม ACD\) (\(AC=BD, \มุม OAD=\มุม ODA, AD\)- ทั่วไป). ดังนั้น \(AB=CD\) เหตุใด

- (สี่เหลี่ยมคางหมูกรีก) 1) ในเรขาคณิต หมายถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านสองด้านขนานกันและอีกสองด้านไม่ขนานกัน 2) ตัวเลขที่ดัดแปลงสำหรับการออกกำลังกายแบบยิมนาสติก พจนานุกรมคำต่างประเทศรวมอยู่ในภาษารัสเซีย Chudinov A.N. , 2453 ราวสำหรับออกกำลังกาย... ... พจนานุกรมคำต่างประเทศในภาษารัสเซีย

สี่เหลี่ยมคางหมู- สี่เหลี่ยมคางหมู TRAPEZE (มาจากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูของกรีก แปลว่าตาราง) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ด้านทั้งสองขนานกัน (ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐาน (เส้นกึ่งกลาง) และความสูงครึ่งหนึ่ง - พจนานุกรมสารานุกรมภาพประกอบ

สี่เหลี่ยมคางหมู- พจนานุกรมรูปสี่เหลี่ยม, กระสุนปืน, คานประตูของคำพ้องความหมายของรัสเซีย คำนามรูปสี่เหลี่ยมคางหมู จำนวนคำพ้องความหมาย: 3 คานประตู (21) ... พจนานุกรมคำพ้อง

ราวสำหรับออกกำลังกาย- (จากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูของกรีก แปลว่าตาราง) รูปสี่เหลี่ยมนูนที่ด้านทั้งสองขนานกัน (ฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐาน (เส้นกึ่งกลาง) ครึ่งหนึ่งและความสูง... สารานุกรมสมัยใหม่

ราวสำหรับออกกำลังกาย- (จากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูภาษากรีก แปลว่า ตาราง) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านตรงข้ามสองด้านเรียกว่าฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกัน (ในรูป AD และ BC) และอีกสองด้านไม่ขนานกัน ระยะห่างระหว่างฐานเรียกว่าความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู (ที่ ... ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

ราวสำหรับออกกำลังกาย- TRAPEZOUS รูปสี่เหลี่ยมแบนซึ่งมีด้านตรงข้ามกัน 2 ข้างขนานกัน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของด้านขนานคูณด้วยความยาวของเส้นตั้งฉากระหว่างด้านทั้งสอง... พจนานุกรมสารานุกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิค

ราวสำหรับออกกำลังกาย- TRAPEZE สี่เหลี่ยมคางหมู สำหรับผู้หญิง (จากโต๊ะสี่เหลี่ยมคางหมูภาษากรีก) 1. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีสองด้านขนานกันและสองด้านไม่ขนานกัน (เสื่อ) 2. อุปกรณ์ยิมนาสติกประกอบด้วยคานที่แขวนอยู่บนเชือกสองเส้น (กีฬา) กายกรรม...... พจนานุกรมอธิบายของ Ushakov

ราวสำหรับออกกำลังกาย- ราวสำหรับออกกำลังกายและเพศหญิง 1. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านขนานสองด้านและด้านไม่ขนานกัน ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู (ด้านที่ขนานกัน) 2. ละครสัตว์หรืออุปกรณ์ยิมนาสติกคือคานประตูที่แขวนอยู่บนสายเคเบิลสองเส้น พจนานุกรมอธิบายของ Ozhegov กับ … พจนานุกรมอธิบายของ Ozhegov

ราวสำหรับออกกำลังกาย- เพศหญิง พลอย รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านไม่เท่ากัน โดยสองด้านขนานกัน (ขนานกัน) สี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมคล้าย ๆ กันที่ทุกด้านแยกออกจากกัน รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ลำตัวมีเหลี่ยมเพชรพลอยเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู พจนานุกรมอธิบายของดาห์ล ในและ ดาห์ล. พ.ศ. 2406 2409 … พจนานุกรมอธิบายของดาห์ล

ราวสำหรับออกกำลังกาย- (ราวสำหรับออกกำลังกาย), สหรัฐอเมริกา, 2499, 105 นาที เรื่องประโลมโลก ทิโน ออร์ซินี นักกายกรรมผู้มุ่งมั่นเข้าร่วมคณะละครสัตว์ที่ไมค์ ริบเบิล อดีตศิลปินนักโหนสลิงชื่อดังทำงานอยู่ ไมค์เคยแสดงร่วมกับพ่อของติโน่ หนุ่มออร์ซินี่อยากให้ไมค์... สารานุกรมภาพยนตร์

สี่เหลี่ยมคางหมู- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านสองด้านขนานกัน และอีกสองด้านไม่ขนานกัน เรียกว่าระยะห่างระหว่างด้านขนานกัน ความสูง T หากด้านขนานและความสูงมีเมตร a, b และ h พื้นที่ของ T จะมีตารางเมตร ... สารานุกรมของ Brockhaus และ Efron

หนังสือ

ชุดโต๊ะ. เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 15 ตาราง + วิธีการ, . พิมพ์โต๊ะลงบนกระดาษแข็งพิมพ์ลายหนา ขนาด 680 x 980 มม. ชุดนี้ประกอบด้วยโบรชัวร์พร้อมแนวทางการสอนสำหรับครู อัลบั้มการศึกษา 15 แผ่น รูปหลายเหลี่ยม... ซื้อในราคา 3828 RUR
ชุดโต๊ะ. คณิตศาสตร์. รูปหลายเหลี่ยม (7 ตาราง), . อัลบั้มการศึกษา 7 แผ่น รูปหลายเหลี่ยมนูนและไม่นูน รูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนานและสี่เหลี่ยมคางหมู สัญญาณและคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมผืนผ้า. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยม. สี่เหลี่ยม…

มักพบเนื้อหาในการทดสอบและการสอบต่างๆ ปัญหาสี่เหลี่ยมคางหมูการแก้ปัญหาซึ่งต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของมัน

เรามาดูกันว่าสี่เหลี่ยมคางหมูมีคุณสมบัติที่น่าสนใจและมีประโยชน์อะไรบ้างในการแก้ปัญหา

หลังจากศึกษาคุณสมบัติของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ว เราก็สามารถกำหนดและพิสูจน์ได้ คุณสมบัติของส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของฐาน

MO คือเส้นกลางของสามเหลี่ยม ABC และมีค่าเท่ากับ 1/2BC (รูปที่ 1)

MQ คือเส้นกลางของสามเหลี่ยม ABD และมีค่าเท่ากับ 1/2AD

จากนั้น OQ = MQ – MO ดังนั้น OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC)

เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ มากมายบนสี่เหลี่ยมคางหมู หนึ่งในเทคนิคหลักคือการวาดความสูงสองจุดในนั้น

พิจารณาสิ่งต่อไปนี้ งาน.

ให้ BT เป็นความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ABCD ที่มีฐาน BC และ AD โดยที่ BC = a, AD = b ค้นหาความยาวของส่วน AT และ TD

สารละลาย.

การแก้ปัญหาไม่ใช่เรื่องยาก (รูปที่ 2)แต่มันช่วยให้คุณได้รับ คุณสมบัติของความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่ดึงมาจากจุดยอดของมุมป้าน: ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่ลากจากจุดยอดของมุมป้านจะแบ่งฐานที่ใหญ่กว่าออกเป็นสองส่วน โดยส่วนที่เล็กกว่าจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของฐาน และส่วนที่ใหญ่กว่าจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน .

เมื่อศึกษาคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูคุณต้องใส่ใจกับคุณสมบัติดังกล่าวว่ามีความคล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่น เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสี่รูป และสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับฐานจะคล้ายกัน และสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับด้านข้างจะมีขนาดเท่ากัน คำสั่งนี้สามารถเรียกได้ คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีสี่เหลี่ยมคางหมูหารด้วยเส้นทแยงมุม- นอกจากนี้ ส่วนแรกของข้อความสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายมากผ่านสัญลักษณ์ของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมสองมุม มาพิสูจน์กันส่วนที่สองของแถลงการณ์

สามเหลี่ยม BOC และ COD มีความสูงเท่ากัน (รูปที่ 3)หากเราใช้กลุ่ม BO และ OD เป็นฐาน จากนั้น S BOC /S COD = BO/OD = k ดังนั้น S COD = 1/k · S BOC

ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม BOC และ AOB มีความสูงเท่ากัน หากเราเอาส่วน CO และ OA เป็นฐาน จากนั้น S BOC /S AOB = CO/OA = k และ S A O B = 1/k · S BOC

จากสองประโยคนี้จะตามมาว่า S COD = S A O B

อย่าไปจมอยู่กับข้อความที่กำหนดไว้ แต่จงค้นหา ความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมซึ่งสี่เหลี่ยมคางหมูถูกหารด้วยเส้นทแยงมุม- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ มาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้

ให้จุด O เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ที่มีฐาน BC และ AD เป็นที่ทราบกันว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม BOC และ AOD เท่ากับ S 1 และ S 2 ตามลำดับ ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

เนื่องจาก S COD = S A O B ดังนั้น S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD

จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม BOC และ AOD จะได้ว่า BO/OD = √(S₁/S 2)

ดังนั้น S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2) ซึ่งหมายถึง S COD = √(S 1 · S 2)

จากนั้น S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2

การใช้ความคล้ายคลึงก็พิสูจน์ได้ว่า คุณสมบัติของส่วนที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐาน.

ลองพิจารณาดู งาน:

ให้จุด O เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ที่มีฐาน BC และ AD ก่อนคริสต์ศักราช = ก, AD = ข ค้นหาความยาวของส่วน PK ที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐาน PK ส่วนใดหารด้วยจุด O (รูปที่ 4)

จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม AOD และ BOC จะได้ว่า AO/OC = AD/BC = b/a

จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม AOP และ ACB จะได้ว่า AO/AC = PO/BC = b/(a + b)

ดังนั้น PO = BC b / (a + b) = ab/(a + b)

ในทำนองเดียวกัน จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม DOK และ DBC จะได้ว่า OK = ab/(a + b)

ดังนั้น PO = OK และ PK = 2ab/(a + b)

ดังนั้นคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วสามารถกำหนดได้ดังนี้: ส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมและเชื่อมต่อสองจุดที่ด้านข้างด้านข้างจะถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัดของ เส้นทแยงมุม ความยาวของมันคือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

กำลังติดตาม คุณสมบัติสี่จุด: ในสี่เหลี่ยมคางหมูจุดตัดของเส้นทแยงมุมจุดตัดของความต่อเนื่องของด้านข้างจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูอยู่ในเส้นเดียวกัน

สามเหลี่ยม BSC และ ASD มีความคล้ายคลึงกัน (รูปที่ 5)และในแต่ละค่ามัธยฐาน ST และ SG จะแบ่งมุมยอด S ออกเป็นส่วนเท่า ๆ กัน ดังนั้นจุด S, T และ G จึงอยู่บนเส้นเดียวกัน

ในทำนองเดียวกัน จุด T, O และ G อยู่บนเส้นเดียวกัน ซึ่งตามมาจากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม BOC และ AOD

ซึ่งหมายความว่าจุดทั้งสี่จุด S, T, O และ G อยู่บนเส้นเดียวกัน

คุณยังสามารถหาความยาวของส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองส่วนที่คล้ายกันได้

หากสี่เหลี่ยมคางหมู ALFD และ LBCF มีความคล้ายคลึงกัน (รูปที่ 6)แล้ว a/LF = LF/b

ดังนั้น LF = √(ab)

ดังนั้น ส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่คล้ายกันสองอันจะมีความยาวเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของความยาวของฐาน

มาพิสูจน์กัน คุณสมบัติของส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน.

ให้พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูเป็น S (รูปที่ 7) h 1 และ h 2 เป็นส่วนหนึ่งของความสูง และ x คือความยาวของส่วนที่ต้องการ

จากนั้น S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 และ

S = (ซ 1 + ชั่วโมง 2) · (a + b)/2

มาสร้างระบบกันเถอะ

(ซ 1 (ก + x) = ชั่วโมง 2 (ข + x)
(ซ 1 · (ก + x) = (ซ 1 + ชั่วโมง 2) · (ก + ข)/2

เมื่อแก้ระบบนี้ เราจะได้ x = √(1/2(a 2 + b 2))

ดังนั้น, ความยาวของส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันจะเท่ากับ √((a 2 + b 2)/2)(หมายถึงกำลังสองของความยาวฐาน)

ดังนั้น สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ที่มีฐาน AD และ BC (BC = a, AD = b) เราพิสูจน์ได้ว่าส่วน:

1) MN ซึ่งเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นขนานกับฐานและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง (ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลข a และ b)

2) PK ที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐานเท่ากับ
2ab/(a + b) (ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของตัวเลข a และ b);

3) LF ซึ่งแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่คล้ายกันสองอัน มีความยาวเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข a และ b, √(ab);

4) EH โดยแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน โดยมีความยาว √((a 2 + b 2)/2) (ค่าเฉลี่ยรากกำลังสองของตัวเลข a และ b)

เครื่องหมายและทรัพย์สินของสี่เหลี่ยมคางหมูที่จารึกและจำกัดขอบเขต

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้:สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถเขียนเป็นวงกลมได้ก็ต่อเมื่อเป็นรูปหน้าจั่วเท่านั้น

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายไว้สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถอธิบายได้รอบๆ วงกลมก็ต่อเมื่อผลรวมของความยาวของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของด้าน

ผลที่ตามมาที่เป็นประโยชน์จากการที่วงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู:

1. ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ผูกไว้เท่ากับสองรัศมีของวงกลมที่ผูกไว้

2. มองเห็นด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ผูกไว้จากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ผูกไว้เป็นมุมฉาก

ประการแรกชัดเจน เพื่อพิสูจน์ข้อพิสูจน์ประการที่สอง จำเป็นต้องพิสูจน์ว่ามุม COD นั้นถูกต้อง ซึ่งก็ไม่ยากเช่นกัน แต่การรู้ข้อพิสูจน์นี้ทำให้คุณสามารถใช้สามเหลี่ยมมุมฉากในการแก้ปัญหาได้

มาระบุกัน ผลที่ตามมาของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว:

ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่ล้อมรอบคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
ชั่วโมง = 2r = √(ab)

คุณสมบัติที่พิจารณาจะช่วยให้คุณเข้าใจสี่เหลี่ยมคางหมูได้ลึกยิ่งขึ้นและรับประกันความสำเร็จในการแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติของมัน

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีแก้ปัญหาสี่เหลี่ยมคางหมู?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ลองพิจารณาปัญหาพื้นฐานของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

I. จุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูคือจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

พิจารณาสามเหลี่ยม AOD และ COB

การแสดงภาพช่วยให้แก้ไขปัญหาเช่นนี้ได้ง่ายขึ้น ดังนั้นเราจึงเน้นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีสีต่างกัน

1) ∠AOD= ∠ COB (ตามแนวตั้ง);

2)∠DAO= ∠ BCO (เป็นแนวขวางภายในที่ AD ∥ BC และเส้นตัดกัน AC)

ดังนั้น สามเหลี่ยม AOD และ COB จึงคล้ายกัน ()

งาน.

เส้นทแยงมุมด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมคางหมูมีขนาดเท่ากับ 28 ซม. และแบ่งเส้นทแยงมุมอีกเส้นออกเป็นส่วน ๆ ที่มีความยาว 5 ซม. และ 9 ซม. ค้นหาส่วนที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมเส้นทแยงมุมแรกแบ่งออก

AO=9 ซม., CO=5 ซม., BD=28 ซม. BO =?, DO- ?

เราพิสูจน์ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม AOD และ COB จากที่นี่

เลือกความสัมพันธ์ที่ต้องการ:

ให้ BO=x ซม. แล้ว DO=28-x ซม.

BO=10 ซม. DO=28-10=18 ซม.

คำตอบ: 10 ซม., 18 ซม.

งาน

เป็นที่ทราบกันว่า O คือจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD (AD ∥ BC) ค้นหาความยาวของส่วน BO ถ้า AO:OC=7:6 และ BD=39 ซม.

ในทำนองเดียวกัน เราพิสูจน์ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม AOD และ COB และ

ให้ BO=x ซม. แล้ว DO=39-x ซม. ดังนั้น

คำตอบ: 18 ซม.

ครั้งที่สอง ส่วนต่อขยายด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่จุดหนึ่ง

ในทำนองเดียวกัน ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยม AFD และ BFC:

1) ∠ F - ทั่วไป;

2)∠ DAF=∠ CBF (เป็นมุมที่สอดคล้องกันที่ BC ∥ AD และซีแคนต์ AF)

ดังนั้น สามเหลี่ยม AFD และ BFC จึงคล้ายกัน (ที่มุมสองมุม)

จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม จะได้ว่าด้านที่สมนัยกันเป็นสัดส่วน:

ดังนั้นเราจะเรียกหนึ่งในนั้น ใหญ่ , ที่สอง - ฐานเล็ก สี่เหลี่ยมคางหมู ความสูง สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถเรียกว่าส่วนตั้งฉากใด ๆ ที่ดึงจากจุดยอดไปยังด้านตรงข้ามที่สอดคล้องกัน (สำหรับจุดยอดแต่ละอันจะมีด้านตรงข้ามกันสองด้าน) ซึ่งอยู่ระหว่างจุดยอดที่ถ่ายและด้านตรงข้าม แต่เราสามารถแยกแยะความสูง "ประเภทพิเศษ" ได้
คำจำกัดความ 8 ความสูงของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูคือส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับฐาน ซึ่งอยู่ระหว่างฐาน
ทฤษฎีบท 7 - เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐานและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง
การพิสูจน์. ให้สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD และเส้นกลาง KM ถูกกำหนดไว้ ลองวาดเส้นตรงผ่านจุด B และ M กัน ลองด้าน AD ผ่านจุด D ต่อไปจนกระทั่งมันตัดกับ BM สามเหลี่ยม ВСм และ МРD มีด้านเท่ากันและมีมุมสองมุม (SM=МD, ∠ ВСМ=∠ МДР - แนวขวาง, ∠ ВМС=∠ DМР - แนวตั้ง) ดังนั้น ВМ=МР หรือจุด M คือจุดกึ่งกลางของ BP KM คือเส้นกลางของสามเหลี่ยม ABP ตามคุณสมบัติของเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม KM ขนานกับ AP และโดยเฉพาะ AD และเท่ากับครึ่งหนึ่งของ AP:

ทฤษฎีบท 8 - เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสี่ส่วน โดยสองส่วนมีขนาดเท่ากันซึ่งอยู่ติดกับด้านข้าง
ฉันขอเตือนคุณว่าตัวเลขจะถูกเรียกว่ามีขนาดเท่ากันหากมีพื้นที่เท่ากัน สามเหลี่ยม ABD และ ACD มีขนาดเท่ากัน โดยมีความสูงเท่ากัน (แสดงด้วยสีเหลือง) และมีฐานร่วม สามเหลี่ยมเหล่านี้มีส่วน AOD เหมือนกัน พื้นที่ของพวกเขาสามารถสลายตัวได้ดังนี้:

ประเภทของสี่เหลี่ยมคางหมู:
คำนิยาม 9 (รูปที่ 1) สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีมุมแหลมคือสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีมุมที่อยู่ติดกับฐานที่ใหญ่กว่าจะเป็นมุมแหลม
คำนิยาม 10. (รูปที่ 2) สี่เหลี่ยมคางหมูมุมป้านคือสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีมุมป้านมุมหนึ่งที่อยู่ติดกับฐานที่ใหญ่กว่า
คำนิยาม 11. (รูปที่ 4) สี่เหลี่ยมคางหมูจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้าด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน
คำนิยาม 12. (รูปที่ 3) หน้าจั่ว (หน้าจั่ว หน้าจั่ว) เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านเท่ากัน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว:
ทฤษฎีบท 10 - มุมที่อยู่ติดกับฐานแต่ละฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วจะเท่ากัน
การพิสูจน์. ตัวอย่างเช่น ขอให้เราพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของมุม A และ D สำหรับ AD ฐานที่ใหญ่กว่าของ ABCD สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว เพื่อจุดประสงค์นี้ เราลากเส้นตรงผ่านจุด C ขนานกับด้าน AB มันจะตัดฐานใหญ่ที่จุด M รูปสี่เหลี่ยม ABCM เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเพราะว่า โดยการก่อสร้างจะมีด้านขนานกันสองคู่ ดังนั้น ส่วนของ CM ของเส้นตัดที่อยู่ภายในสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับด้านของมัน: CM = AB จากตรงนี้จะเห็นได้ชัดว่า CM = CD สามเหลี่ยม CMD คือหน้าจั่ว ∠ CMD = ∠ CDM ดังนั้น ∠ A = ∠ D มุมที่อยู่ติดกับฐานที่เล็กกว่าก็จะเท่ากันเช่นกัน เนื่องจาก มีไว้สำหรับส่วนที่พบภายในด้านเดียวและมีทั้งหมดสองบรรทัด
ทฤษฎีบท 11 - เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วจะเท่ากัน
การพิสูจน์. พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABD และ ACD ด้านทั้งสองเท่ากันและมีมุมระหว่างด้านทั้งสอง (AB=CD, AD เป็นเรื่องธรรมดา มุม A และ D เท่ากันตามทฤษฎีบท 10) ดังนั้น AC=BD

ทฤษฎีบท 13 - เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนเท่าๆ กันตามจุดตัดกัน พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABD และ ACD ด้านทั้งสองเท่ากันและมีมุมระหว่างด้านทั้งสอง (AB=CD, AD เป็นเรื่องธรรมดา มุม A และ D เท่ากันตามทฤษฎีบท 10) ดังนั้น ∠ OAD=∠ ODA ดังนั้นมุม OBC และ OCB จึงเท่ากัน เนื่องจากมุม ODA และ OAD ตัดกันตามลำดับ จำทฤษฎีบทนี้ไว้: หากมุมสองมุมของสามเหลี่ยมเท่ากัน มุมนั้นจะเป็นหน้าจั่ว ดังนั้น สามเหลี่ยม OBC และ OAD จึงเป็นหน้าจั่ว ซึ่งหมายความว่า OC=OB และ OA=OD เป็นต้น
สี่เหลี่ยมคางหมูด้านเท่าเป็นรูปสมมาตร
คำนิยาม 13. แกนสมมาตรของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของฐาน
ทฤษฎีบท 14 - แกนสมมาตรของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตั้งฉากกับฐาน
ในทฤษฎีบทที่ 9 เราได้พิสูจน์ว่าเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูลากผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุม ต่อไป (ทฤษฎีบท 13) เราพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม AOD และ BOC เป็นหน้าจั่ว OM และ OK คือค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมเหล่านี้ ตามลำดับ ตามคำจำกัดความ ให้เรานึกถึงคุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว: ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งลดลงถึงฐานคือความสูงของสามเหลี่ยมด้วย เนื่องจากความตั้งฉากของส่วนต่างๆ ของเส้นตรง KM กับฐาน แกนสมมาตรจึงตั้งฉากกับฐาน
สัญญาณที่แยกแยะระหว่างสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วกับสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมด:
ทฤษฎีบท 15 - หากมุมที่อยู่ติดกับฐานใดฐานหนึ่งของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากัน แสดงว่าสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นหน้าจั่ว
ทฤษฎีบท 16 - หากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากัน แสดงว่าสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นหน้าจั่ว
ทฤษฎีบท 17 - หากด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูขยายออกไปจนตัดกัน แล้วประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยมีฐานขนาดใหญ่ แสดงว่าสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นหน้าจั่ว
ทฤษฎีบท 18 - หากสามารถเขียนรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นวงกลมได้ แสดงว่าเป็นหน้าจั่ว
เครื่องหมายของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม:
ทฤษฎีบท 19 - รูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่มีมุมฉากเพียงสองมุมและมีจุดยอดติดกันจะเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉาก (เห็นได้ชัดว่าด้านสองด้านขนานกัน เนื่องจากด้านเดียวเท่ากัน ในกรณีที่มุมฉากสามมุมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า)
ทฤษฎีบท 20 - รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของความสูงของฐาน
ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้คือการอธิบายว่ารัศมีที่ลากไปยังฐานนั้นอยู่ที่ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู จากจุด O - จุดศูนย์กลางของวงกลม ABCD ที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูที่กำหนด เราจะวาดรัศมีไปยังจุดที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัสกัน ดังที่ทราบ รัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสกัน ดังนั้น OK^ BC และ OM^ AD ขอให้เราจำทฤษฎีบทนี้: ถ้าเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง เส้นนั้นจะตั้งฉากกับเส้นที่สองด้วย ซึ่งหมายความว่าบรรทัด OK ก็ตั้งฉากกับ AD เช่นกัน ดังนั้น เมื่อผ่านจุด O จะมีเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกับเส้น AD ซึ่งไม่สามารถเป็นได้ ดังนั้นเส้นเหล่านี้จึงตรงกันและประกอบเป็น KM ตั้งฉากทั่วไป ซึ่งเท่ากับผลรวมของรัศมีสองอันและเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ ดังนั้น r= กม./2 หรือ r=h/ 2.
ทฤษฎีบท 21 - พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานครึ่งหนึ่งและความสูงของฐาน

การพิสูจน์:ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่กำหนด และให้ AB และ CD เป็นฐานของมัน ให้ AH เป็นความสูงที่ลดลงจากจุด A ถึงเส้น CD จากนั้น S ABCD = S ACD + S ABC
แต่ S ACD = 1/2AH·CD และ S ABC = 1/2AH·AB
ดังนั้น S ABCD = 1/2AH·(AB + CD)
Q.E.D.