Знайомство та Кохання

Довести, що висоти трапеції паралельні. Що таке трапеція Властивості рівнобічної трапеції

\[(\Large(\text(Довільна трапеція)))\]

Визначення

Трапеція - це опуклий чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.

Паралельні сторони трапеції називаються її основами, а дві інші – бічними сторонами.

Висота трапеції – це перпендикуляр, опущений з будь-якої точки однієї основи до іншої основи.

Теореми: властивості трапеції

1) Сума кутів при боці дорівнює \(180^\circ\) .

2) Діагоналі ділять трапецію на чотири трикутники, два з яких подібні, а два інші – рівновеликі.

Доведення

1) Т.к. \(AD\parallel BC\) , то кути \(\angle BAD\) і \(\angle ABC\) – односторонні при цих прямих і січній \(AB\) , отже, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) і \(BD\) - січна, то \(\angle DBC=\angle BDA\) як навхрест лежать.
Також (angle BOC = angle AOD) як вертикальні.
Отже, по двох кутах \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Доведемо, що \(S_(\triangle AOB)=S_(\triangle COD)\). Нехай (h) - висота трапеції. Тоді \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Тоді: \

Визначення

Середня лінія трапеції – відрізок, що з'єднує середини бічних сторін.

Теорема

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Доведення*

1) Доведемо паралельність.

Проведемо через точку \(M\) пряму \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\)). Тоді з теореми Фалеса (т.к. \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) точка \(N"\) - середина відрізка \(CD\) . Значить, точки \(N\) і \(N"\) збігатимуться.

2) Доведемо формулу.

Проведемо \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Нехай \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Тоді за теоремою Фалеса \(M"\) та \(N"\) - середини відрізків \(BB"\) та \(CC"\) відповідно. Значить, \(MM"\) - середня лінія \(\triangle ABB"\), \(NN"\) - середня лінія \(\triangle DCC"\). Тому: \

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\)і \(BB", CC\perp AD\), то \(B"M"N"C"\) і \(BM"N"C\) - прямокутники. За теоремою Фалеса з \(MN\parallel AD\) і \(AM=MB\) випливає, що \(B"M"=M"B\) . і \(BM"N"C\) – рівні прямокутники, отже, \(M"N"=B"C"=BC\) .

Таким чином:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: властивість довільної трапеції

Середини основ, точка перетину діагоналей трапеції та точка перетину продовжень бічних сторін лежать на одній прямій.

Доведення*
З доказом рекомендується ознайомитись після вивчення теми “Подібність трикутників”.

1) Доведемо, що точки \(P\), \(N\) і \(M\) лежать на одній прямій.

Проведемо пряму \(PN\) (\(P\) - точка перетину продовжень бічних сторін, \(N\) - середина \(BC\)). Нехай вона перетне бік \(AD\) у точці \(M\) . Доведемо, що (M) - середина (AD).

Розглянемо \(\triangle BPN\) та \(\triangle APM\) . Вони подібні по двох кутах (\(\angle APM\) - загальний, \(\angle PAM=\angle PBN\) як відповідні при \(AD\parallel BC\) і \(AB\) січній). Значить: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Розглянемо \(\triangle CPN\) та \(\triangle DPM\) . Вони подібні за двома кутами (\(\angle DPM\) - загальний, \(\angle PDM=\angle PCN\) як відповідні при \(AD\parallel BC\) і \(CD\) січній). Значить: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Звідси \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Але \(BN=NC\), отже, \(AM=DM\).

2) Доведемо, що точки (N, O, M) лежать на одній прямій.

Нехай \(N\) - середина \(BC\), \(O\) - точка перетину діагоналей. Проведемо пряму \(NO\), вона перетне бік \(AD\) у точці \(M\). Доведемо, що (M) - середина (AD).

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\)по двох кутах (\(\angle OBN=\angle ODM\) як навхрест що лежать при \(BC\parallel AD\) і \(BD\) січній; \(\angle BON=\angle DOM\) як вертикальні). Значить: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Аналогічно \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Значить: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Звідси \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Але \(BN=CN\), отже, \(AM=MD\).

\[(\Large(\text(Рівностегнова трапеція)))\]

Визначення

Трапеція називається прямокутною, якщо один із її кутів – прямий.

Трапеція називається рівнобедреною, якщо її бічні сторони рівні.

Теореми: властивості рівнобедреної трапеції

1) У рівнобедреної трапеції кути при основі рівні.

2) Діагоналі рівнобедреної трапеції рівні.

3) Два трикутники, утворені діагоналями та основою, є рівнобедреними.

Доведення

1) Розглянемо рівнобедрену трапецію (ABCD).

З вершин (B) і (C) опустимо на бік (AD) перпендикуляри (BM) і (CN) відповідно. Оскільки \(BMperp AD\) і \(CNperp AD\) , то \(BMparallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тоді \(MBCN\) - паралелограм, отже, \(BM = CN\) .

Розглянемо прямокутні трикутники \(ABM\) та \(CDN\). Оскільки вони рівні гіпотенузи і катет \(BM\) дорівнює катету \(CN\) , ці трикутники рівні, отже, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)- загальна, то за першою ознакою. Отже, (AC = BD).

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\), \(\angle BDA=\angle CAD\) . Отже, трикутник (triangle AOD) - рівнобедрений. Аналогічно доводиться, що і (triangle BOC) - рівнобедрений.

Теореми: ознаки рівнобедреної трапеції

1) Якщо в трапеції кути при підставі рівні, вона рівнобедренная.

2) Якщо у трапеції діагоналі рівні, вона рівнобедренная.

Доведення

Розглянемо трапецію \(ABCD\), таку що \(\angle A = \angle D\).

Добудуємо трапецію до трикутника (AED) як показано на малюнку. Так як \(\angle 1 = \angle 2\), то трикутник \(AED\) рівнобедрений і \(AE = ED\). Кути \(1\) і \(3\) рівні як відповідні при паралельних прямих \(AD\) і \(BC\) та січній \(AB\) . Аналогічно рівні кути \(2\) і \(4\) , але \(\angle 1 = \angle 2\) тоді \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\)отже, трикутник \(BEC\) теж рівнобедрений і \(BE = EC\) .

В підсумку \(AB = AE - BE = DE - CE = CD \), тобто \(AB = CD \) , Що і потрібно довести.

2) Нехай (AC = BD). Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), то позначимо їхній коефіцієнт подібності за \(k\) . Тоді якщо (BO = x), то (OD = kx). Аналогічно (CO = y Rightarrow AO = ky) .

Т.к. \(AC=BD\) , \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значить \(\triangle AOD\) - рівнобедрений і \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Таким чином, за першою ознакою \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- загальна). Значить, (AB = CD), чтд.

- (Греч. trapezion). 1) у геометрії чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві ні. 2) постать, пристосована для гімнастичних вправ. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Чудінов А.Н., 1910. ТРАПЕЦІЯ… … Словник іноземних слів російської мови

Трапеція- Трапеція. ТРАПЕЦІЯ (від грецького trapezion, буквально столик), опуклий чотирикутник, у якому дві сторони паралельні (основи трапеції). Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми основ (середньої лінії) на висоту. … Ілюстрований енциклопедичний словник

трапеція- чотирикутник, снаряд, перекладина Словник російських синонімів. трапеція сущ., кіл у синонімів: 3 перекладина (21) … Словник синонімів

ТРАПЕЦІЯ- (Від грецького trapezion, буквально столик), опуклий чотирикутник, в якому дві сторони паралельні (основи трапеції). Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми основ (середньої лінії) на висоту … Сучасна енциклопедія

ТРАПЕЦІЯ- (Від грецьк. trapezion букв. столик), чотирикутник, у якому дві протилежні сторони, звані основами трапеції, паралельні (на малюнку АD і ВС), а інші дві непаралельні. Відстань між основами називають висотою трапеції (на… … Великий Енциклопедичний словник

ТРАПЕЦІЯ- ТРАПЕЦІЯ, чотирикутна плоска фігура, в якій дві протилежні сторони є паралельними. Площа трапеції дорівнює напівсумі паралельних сторін, помноженої на довжину перпендикуляра між ними. Науково-технічний енциклопедичний словник

ТРАПЕЦІЯ- ТРАПЕЦІЯ, трапеції, дружин. (Від грецьк. trapeza стіл). 1. Чотирьохкутник з двома паралельними та двома непаралельними сторонами (мат.). 2. Гімнастичний снаряд, що складається з перекладини, підвішеної на двох мотузках (спорт.). Акробатичні… Тлумачний словник Ушакова

ТРАПЕЦІЯ- ТРАПЕЦІЯ, і, дружин. 1. Чотирьохкутник з двома паралельними та двома непаралельними сторонами. Підстави трапеції (її паралельні сторони). 2. Цирковий або гімнастичний снаряд поперечина, підвішена на двох тросах. Тлумачний словник Ожегова. З … Тлумачний словник Ожегова

ТРАПЕЦІЯ- Жін., Геом. чотирикутник з нерівними сторонами, з яких дві опостінні (паралельні). Трапецеоїд, подібний до чотирикутника, у якого всі сторони йдуть нарізно. Трапецеедр, тіло, огранене трапеціями. Тлумачний словник Даля. В.І. Даль. 1863 1866 … Тлумачний словник Даля

ТРАПЕЦІЯ- (Trapeze), США, 1956, 105 хв. Мелодрама. Акробат-початківець Тіно Орсіні вступає до циркової трупи, де працює Майк Ріббл, відомий у минулому повітряний гімнаст. Колись Майк виступав разом з батьком Тіно. Молодий Орсіні хоче, щоб Майк… … Енциклопедія кіно

Трапеція- чотирикутник, дві сторони якого паралельні, а дві інші сторони не паралельні. Відстань між паралельними сторонами зв. висотою Т. Якщо паралельні сторони та висота містять а, b і hметрів, то площа Т. містить квадратні метри … Енциклопедія Брокгауза та Єфрона

Книги

Набір таблиць. Геометрія. 8 клас. 15 таблиць + методика, . Таблиці надруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними порадами для вчителя. Навчальний альбом із 15 аркушів. Багатокутники.… Купити за 3828 руб
Набір таблиць. Математика. Багатокутники (7 таблиць), . Навчальний альбом із 7 аркушів. Випуклі та неопуклі багатокутники. Чотирикутники. Паралелограм та трапеція. Ознаки та властивості паралелограма. Прямокутник. Ромб. Квадрат. Площа…

У матеріалах різних контрольних робіт та іспитів дуже часто зустрічаються завдання на трапецію, Вирішення яких вимагає знання її властивостей.

З'ясуємо, якими ж цікавими та корисними для вирішення завдань властивостями має трапеція.

Після вивчення властивості середньої лінії трапеції можна сформулювати та довести властивість відрізка, що з'єднує середини діагоналей трапеції. Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює напіврізниці основ.

MO – середня лінія трикутника ABC і дорівнює 1/2ВС (Рис. 1).

MQ – середня лінія трикутника ABD дорівнює 1/2АD.

Тоді OQ = MQ - MO, отже, OQ = 1/2AD - 1/2BC = 1/2 (AD - BC).

При вирішенні багатьох завдань на трапецію одним із основних прийомів є проведення у ній двох висот.

Розглянемо таку завдання.

Нехай BT – висота рівнобедреної трапеції ABCD із основами BC і AD, причому BC = a, AD = b. Знайти довжини відрізків AT та TD.

Рішення.

Вирішення завдання не викликає труднощів (Рис. 2)але воно дозволяє отримати властивість висоти рівнобедреної трапеції, проведеної з вершини тупого кута: висота рівнобедреної трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на два відрізки, менший з яких дорівнює напіврізності основ, а більший – напівсумі основ.

При вивченні властивостей трапеції слід звернути увагу до таку властивість, як подобу. Так, наприклад, діагоналі трапеції розбивають її на чотири трикутники, причому трикутники, що прилягають до основ, подібні, а трикутники, що належать до бокових сторін, рівновеликі. Це твердження можна назвати властивістю трикутників, на які розбивається трапеція її діагоналями. Причому перша частина твердження доводиться дуже легко через ознаку подібності трикутників по двох кутах. Доведемодругу частину затвердження.

Трикутники BOC та COD мають загальну висоту (Рис. 3)якщо прийняти за їх підстави відрізки BO і OD. Тоді S BOC /S COD = BO/OD = k. Отже, S COD = 1/k · S BOC.

Аналогічно, трикутники BOC та АОВ мають загальну висоту, якщо прийняти за їх підстави відрізки CO та OA. Тоді S BOC /S AOB = CO/OA = k та S А O В = 1/k · S BOC .

З цих двох пропозицій випливає, що S COD = S А O В.

Не будемо зупинятись на сформульованому твердженні, а знайдемо зв'язок між площами трикутників, на які розбивається трапеція її діагоналями. Для цього вирішимо таке завдання.

Нехай точка O – точка перетину діагоналей трапеції АBCD із основами BC і AD. Відомо, що площі трикутників BOC і AOD рівні відповідно S1 і S2. Знайти площу трапеції.

Так як S COD = S А O В, то S АВС D = S 1 + S 2 + 2S COD.

З подоби трикутників BOC і AOD випливає, що ВО/OD = √(S₁/S 2).

Отже, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), отже S COD = √(S 1 · S 2).

Тоді S АВС D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√ S 1 + √S 2) 2 .

З використанням подібності доводиться і властивість відрізка, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції паралельно основам.

Розглянемо завдання:

Нехай точка O – точка перетину діагоналей трапеції ABCD із основами BC і AD. BC = a, AD = b. Знайти довжину відрізка PK, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції паралельно основ. На які відрізки PK ділиться точкою О (рис. 4)?

З подоби трикутників AOD і BOC випливає, що АO/ОС = AD/BC = b/a.

З подоби трикутників AOR і ACB випливає, що АO/АС = PO/BC = b/(a + b).

Звідси PO = BC · b / (a + b) = ab / (a + b).

Аналогічно, з подоби трикутників DOK та DBC, випливає, що OK = ab/(a + b).

Звідси PO = OK та PK = 2ab/(a + b).

Отже, доведену властивість можна сформулювати так: відрізок, паралельний основам трапеції, що проходить через точку перетину діагоналей і з'єднує дві точки на бокових сторонах, ділиться точкою перетину діагоналей навпіл. Його довжина є середня гармонійна підстави трапеції.

Наступне властивість чотирьох точок: у трапеції точка перетину діагоналей, точка перетину продовження бічних сторін, середини основ трапеції лежать на одній лінії.

Трикутники BSC та ASD подібні (Рис. 5)і в кожному з них медіани ST та SG ділять кут при вершині S на однакові частини. Отже, точки S, T та G лежать на одній прямій.

Так само на одній прямій розташовані точки T, O і G. Це випливає з подібності трикутників BOC і AOD.

Отже, всі чотири точки S, T, O та G лежать на одній прямій.

Так само можна знайти довжину відрізка трапеції, що розбиває, на дві подібних.

Якщо трапеції ALFD і LBCF подібні (рис. 6),то a/LF = LF/b.

Звідси LF = √(ab).

Таким чином, відрізок, що розбиває трапецію на дві подібні трапеції, має довжину рівну середньому геометричному довжин основ .

Доведемо властивість відрізка, що ділить трапецію на дві рівновеликі.

Нехай площа трапеції дорівнює S (Мал. 7). h 1 і h 2 – частини висоти, а х – довжина відрізка, що шукається.

Тоді S/2 = h 1 · (a + x) / 2 = h 2 · (b + x) / 2 та

S = (h 1 + h 2) · (a + b) /2.

Складемо систему

(h 1 · (a + x) = h 2 · (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Вирішуючи цю систему, отримаємо х = √(1/2(а 2 + b 2)).

Таким чином, довжина відрізка, що ділить трапецію на дві рівновеликі, дорівнює √ ((а 2 + b 2) / 2)(Середньому квадратичному довжин основ).

Отже, для трапеції ABCD з основами AD та BC (BC = a, AD = b) довели, що відрізок:

1) MN, що з'єднує середини бічних сторін трапеції, паралельний основам і дорівнює їх напівсумі (середньому арифметичному чисел a і b);

2) PK, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції паралельно основам, дорівнює
2ab/(a + b) (середньому гармонійному чисел a та b);

3) LF, що розбиває трапецію на дві подібні трапеції, має довжину рівну середньому геометричному чисел a та b, √(ab);

4) EH, що ділить трапецію на дві рівновеликі, має довжину √((а 2 + b 2)/2) (середнє квадратичне чисел a та b).

Ознака та властивість вписаної та описаної трапеції.

Властивість вписаної трапеції:трапеція може бути вписана в коло в тому і тільки в тому випадку, коли вона є рівнобедреною.

Властивості описаної трапеції.Біля кола можна описати трапецію тоді і лише тоді, коли сума довжин основ дорівнює сумі довжин бічних сторін.

Корисні наслідки того, що в трапецію вписано коло:

1. Висота описаної трапеції дорівнює двом радіусам вписаного кола.

2. Бічна сторона описаної трапеції видно з центру вписаного кола під прямим кутом.

Перше очевидно. Для доказу другого слідства необхідно встановити, що кут COD прямий, що так само не складає великої праці. Зате знання цього слідства дозволяє під час вирішення завдань використовувати прямокутний трикутник.

Конкретизуємо наслідки для рівнобедреної описаної трапеції:

Висота рівнобедреної описаної трапеції є середня геометрична основ трапеції.
h = 2r = √(ab).

Розглянуті властивості дозволять глибше пізнати трапецію і забезпечать успішність у вирішенні завдань застосування її властивостей.

Залишились питання? Чи не знаєте, як вирішувати завдання на трапецію?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Розглянемо базові завдання на подібні трикутники у трапеції.

I. Точка перетину діагоналей трапеції - вершина подібних трикутників.

Розглянемо трикутники AOD та COB.

Візуалізація полегшує вирішення завдань на кшталт. Тому подібні трикутники у трапеції виділимо різними кольорами.

1) ∠AOD = ∠ COB (як вертикальні);

2) ∠DAO = ∠ BCO (як внутрішні навхрест лежать при AD BC і січе AC).

Отже, трикутники AOD та COB подібні ().

Завдання.

Одна з діагоналей трапеції дорівнює 28 см і ділить іншу діагональ на відрізки довжиною 5 см і 9 см. Знайти відрізки, на які точка перетину діагоналей ділить першу діагональ.

AO = 9 см, CO = 5 см, BD = 28 см. BO =?, DO-?

Доводимо подібність трикутників AOD та COB. Звідси

Вибираємо потрібні відносини:

Нехай BO=x см, тоді DO=28-x см. Отже,

BO = 10 см, DO = 28-10 = 18 см.

Відповідь: 10 см, 18 см.

Завдання

Відомо, що О — точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AD BC). Знайти довжину відрізка BO, якщо AO:OC=7:6 та BD=39 см.

Аналогічно, доводимо подобу трикутників AOD і COB і

Нехай BO=x см, тоді DO=39-x см. Таким чином,

Відповідь: 18 см.

ІІ. Продовження бічних сторін трапеції перетинаються у точці.

Аналогічно, розглянемо трикутники AFD та BFC:

1) ∠ F – загальний;

2)∠ DAF=∠ CBF (як відповідні кути при BC ? AD та січній AF).

Отже, трикутники AFD і BFC подібні (за двома кутами).

З подоби трикутників випливає пропорційність відповідних сторін:

Тому одну з них ми назвемо великим , другу - малою основою трапеції. Висотою трапеції можна назвати будь-який відрізок перпендикуляра, проведеного з вершин відповідно протилежну сторону (для кожної вершини є дві протилежні сторони), укладений між взятими вершиною і протилежною стороною. Але можна виділити "особливий вид" висот.
Визначення 8. Висотою основи трапеції називають відрізок прямої, перпендикулярної основ, укладений між основами.
Теорема 7 . Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.
Доведення. Нехай дана трапеція АВСD та середня лінія КМ. Через точки В та М проведемо пряму. Продовжимо сторону AD через точку D до перетину з ВМ. Трикутники ВСм і МРD рівні по стороні і двом кутам (СМ=МD, ∠ВСМ=∠МDР - навхрест, ∠ВМС=∠DМР - вертикальні), тому ВМ=МР або точка М - середина ВР. КМ є середньою лінією у трикутнику АВР. За якістю середньої лінії трикутника КМ паралельна АР і зокрема АD і дорівнює половині АР:

Теорема 8 . Діагоналі ділять трапецію на чотири частини, дві з яких, прилеглі до бокових боків, байдужі.
Нагадаю, що фігури називаються рівновеликими, якщо вони мають однакову площу. Трикутники АВD і АСD рівновеликі: вони мають рівні висоти (позначені жовтим) і загальне основание. Ці трикутники мають загальну частину ADD. Їх площу можна розкласти так:

Види трапецій:
Визначення 9. (рис 1) Гострокутною трапецією називається трапеція, у якої кути, прилеглі до більшої основи гострі.
Визначення 10. (рис 2) Тупокутною трапецією називається трапеція, у якої один із кутів, прилеглих до більшої основи тупий.
Визначення 11. (рис 4) Прямокутною називається трапеція, у якої одна бічна сторона перпендикулярна до основ.
Визначення 12. (рис 3) Рівностегнової (рівнобічної, рівнобічної) називається трапеція, у якої бічні сторони рівні.